Задача Задача №3435443
А
А
три данные точки соединены попарно отрезками докажите что все отрезки лежат в одной плоскости
Задача: даны три точки A, B, C. Соединим их попарно отрезками AB, BC, CA. Доказать, что все отрезки лежат в одной плоскости.
Пояснение по шагам (без использования тяжелой техники, понятное для средней школы):
- Разделим на два случая.
Случай 1: точки A, B, C не лежат на одной прямой (не коллинеарны).
- Тогда через точку A и две направляющие линии AB и AC можно построить единственную плоскость П, которая содержит как AB, так и AC. Эта плоскость называется плоскостью, проходящей через A, B и C.
- Так как B лежит на AB, a C лежит на AC, оба эти точки принадлежат плоскости П. Значит отрезки AB и AC лежат в плоскости П.
- Прямая BC состоит из двух точек B и C, которые обе лежат в П. Следовательно вся прямая BC лежит в П, и, соответственно, отрезок BC тоже лежит в П.
- В итоге AB, BC, CA все лежат в одной плоскости П.
Случай 2: точки A, B, C коллинеарны (лежат на одной прямой l).
- Тогда существует множество плоскостей, которые содержат эту прямую l. Любая такая плоскость будет содержать все три точки и, значит, все три отрезка AB, BC, CA.
- Поэтому и в этом случае все отрезки лежат в одной плоскости.
- Вывод.
- В любом случае существуют по крайней мере одна плоскость (в первом случае — уникальная, во втором — одна из бесконечного множества), которая содержит все три точки и соответственно все три отрезка AB, BC, CA.
- Следовательно, все отрезки лежат в одной плоскости.
Краткое резюме: три точки всегда лежат в какой-то плоскости (если не коллинеарны — в уникальной; если коллинеарны — в любой плоскости, содержащей эту линию). Поэтому попарно соединенные отрезки AB, BC, CA тоже лежат в одной плоскости.
