Напишите геометрическую прогрессию, в которой: а) b5-b1=160, b4-b2=48 б) b5+b2-b4=66, b6+b3-b5=-132

Дано геометрическая прогрессия b_n = a · r^(n-1), где a = b1 — первый член, r — знаменатель прогрессии. Часть а) Задача: b5 − b1 = 160 и b4 − b2 = 48. Подстановка: - b5 = a r^4, b1 = a → a(r^4 − 1) = 160 … (1) - b4 = a r^3, b2 = a r → a(r^3 − r) = 48 … (2) Разделим (1) на (2): (r^4 − 1) / (r^3 − r) = 160 / 48 = 10/3. Так как r^4 − 1 = (r^2 − 1)(r^2 + 1) и r^3 − r = r(r^2 − 1), получаем (r^4 − 1)/(r^3 − r) = (r^2 + 1)/r. Итак: (r^2 + 1)/r = 10/3 → 3r^2 − 10r + 3 = 0. Корни квадратного уравнения: r = 3 и r = 1/3. Теперь найдём a для каждого случая, используя (2): - Если r = 3: a(r^3 − r) = 48 → a(27 − 3) = 48 → a = 48/24 = 2. Значит b1 = 2, знаменатель r = 3 → b_n = 2 · 3^(n−1). Проверка: b5 = 2·3^4 = 162, b1 = 2, разность 160; b4 = 2·3^3 = 54, b2 = 2·3 = 6, разность 48. Всё верно. - Если r = 1/3: a(r^3 − r) = 48 → a(1/27 − 1/3) = 48 → a(−8/27) = 48 → a = −162. Значит b1 = −162, b_n = −162 · (1/3)^(n−1). Проверка: b5 = −162·(1/3)^4 = −2, b1 = −162, b5 − b1 = 160; b4 = −162·(1/3)^3 = −6, b2 = −162·(1/3) = −54, b4 − b2 = 48. Всё верно. Итого по части а) существует две подходящие геометрические прогрессии: - b_n = 2 · 3^(n−1) (первые члены: 2, 6, 18, 54, 162, ...). - b_n = −162 · (1/3)^(n−1) (первые члены: −162, −54, −18, −6, −2, −2/3, ...). Часть б) Задача: b5 + b2 − b4 = 66 и b6 + b3 − b5 = −132. Запишем через a и r: - b5 = a r^4, b2 = a r, b4 = a r^3 → a(r^4 + r − r^3) = 66 … (3) - b6 = a r^5, b3 = a r^2, b5 = a r^4 → a(r^5 + r^2 − r^4) = −132 … (4) Разделим (4) на (3), чтобы избавиться от a: (r^5 + r^2 − r^4) / (r^4 − r^3 + r) = −132 / 66 = −2. Упростим получившееся уравнение: r^5 − r^4 + r^2 = −2(r^4 − r^3 + r) r^5 − r^4 + r^2 = −2r^4 + 2r^3 − 2r Перенесём все в одно уравнение: r^5 + r^4 − 2r^3 + r^2 + 2r = 0 Заметим, что можно вынести r: r (r^4 + r^3 − 2r^2 + r + 2) = 0. Корень r = 0 несогласен с исходными равенствами (с таким r левая часть не даст 66), поэтому смотрим корни многочлена: r^4 + r^3 − 2r^2 + r + 2 = (r + 2)(r^3 − r^2 + 1) = 0. Таким образом, возможны: - r = −2 - r удовлетворяет r^3 − r^2 + 1 = 0 (реальный корень примерно r ≈ −0.7549, остальные два корня комплексны) Возьмём наиболее простой реальный рациональный вариант: r = −2. По (3) найдём a: r^4 − r^3 + r = 16 − (−8) − 2 = 22, поэтому a = 66 / 22 = 3. Итак, одна из решений: b_n = 3 · (−2)^(n−1). Проверка: b5 + b2 − b4 = 3·16 + (−6) − (−24) = 48 − 6 + 24 = 66; b6 + b3 − b5 = 3·(−32) + 12 − 48 = −96 + 12 − 48 = −132. Верно. Ответы: - Часть а): две подходящие прогрессии: • b_n = 2 · 3^(n−1) • b_n = −162 · (1/3)^(n−1) - Часть б): основное решение с простой записью: • b_n = 3 · (−2)^(n−1) (первые члены: 3, −6, 12, −24, 48, −96, …) Также существуют другие редкие корни коэффициентов, дающие нецелые/комплексные решения, но данный вариант является наиболее наглядным и целочисленным.