гдзбрк по геометрии 8 класс бесиктрисса угла А параллеограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке К найдите периметр параллеограмма если ВК=6 СК=10
Идея решения: обозначим стороны параллелограмма и воспользуемся тем, что AK — биссектор угла BAD, и K лежит на стороне BC. Это позволяет связать длины сторон через координаты.
Дано:
- BK = 6, KC = 10 → BC = AD = 6 + 10 = 16.
- Обозначим AB = x, BC = AD = 16. Периметр P = 2(AB + BC) = 2(x + 16). Нужно найти x.
Решение методом координат:
Поместим параллелограмм в декартову систему координат:
- A = (0, 0)
- B = (x, 0) (AB вдоль оси x)
- AD имеет длину 16 и задаётся вектором D = (p, q) с p^2 + q^2 = 16^2
- C = B + D = (x + p, q)
AK — биссектор угла BAD. Направление бисектора пропорционально единичному вектору AB плюс единичный вектор AD:
- AB/|AB| = (1, 0)
- AD/|AD| = (p/16, q/16)
- Направляющий вектор AK: u = (1 + p/16, q/16)
Уравнение луча AK: A + t·u = (t(1 + p/16), t(q/16))
Точка K лежит на BC. Параметр на BC, учитывая BK = 6 и |BC| = 16, равен s = BK/|BC| = 6/16 = 3/8. Тогда
- K = B + s·D = (x, 0) + (3/8)(p, q) = (x + 3p/8, 3q/8)
Приравниваем координаты:
- т·(1 + p/16) = x + (3/8)p
- т·(q/16) = (3/8)q
Если q ≠ 0 (что соответствует ненулевому углу A в параллелограмме), из второй уравнения получаем т/16 = 3/8 → т = 6.
Подставим т = 6 в первую уравнение: 6(1 + p/16) = x + (3/8)p 6 + 6p/16 = x + 3p/8 6 + 3p/8 = x + 3p/8 ⇒ x = 6.
Итак, AB = x = 6, BC = 16. Периметр параллелограмма: P = 2(AB + BC) = 2(6 + 16) = 44.
Ответ: 44 (единицы длины).
