диагональ прямоугольника образует 85 с одной из его сторон найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника

Ответ: 10°.

Пошаговое решение

1. Пусть прямоугольник имеет стороны a и b, где диагональ образует угол α = 85° с стороной a. Тогда tan α = b / a, следовательно b = a tan α.

2. Диагонали прямоугольника можно представить в виде векторов d1 = (a, b) и d2 = (a, −b) (они идут от одного угла к противоположному).

3. Угол φ между диагоналями определяется скалярным произведением: cos φ = (d1 · d2) / (|d1||d2|) = (a^2 − b^2) / (a^2 + b^2).

4. Подставим b = a tan α: cos φ = (a^2 − a^2 tan^2 α) / (a^2 + a^2 tan^2 α) = (1 − tan^2 α) / (1 + tan^2 α).

5. Используем тождество: (1 − tan^2 α) / (1 + tan^2 α) = cos(2α). Значит cos φ = cos(2α), откуда φ = 2α (для φ ∈ [0°, 180°]).

6. Соответственно φ = 2α = 2 · 85° = 170°. Это угол между направлениями диагоналей.

7. Острый угол между диагоналями равен либо φ, либо его supplementary: γ = min(φ, 180° − φ) = 180° − 170° = 10°.

Итого, острый угол между диагоналями этого прямоугольника равен 10°.