Вопрос 1 Перед своей загадочной кончиной старый граф Факторел спрятал семейное состояние за кодовой дверью. Чтобы открыть её, наследникам предстояло разгадать числовую…

Решение задача с параметрами d = 6 и M = 1150.

1. Пусть три наименьших делителя N, не считая единицы, равны a < b < c, где b = a + 6, c = b + 6.

2. Пусть a = p — наименьший простой делитель N (самый маленький делитель > 1).

• Случай A: b = p^2. Тогда p^2 = p + 6, что дает p = 3. Значит a = 3, b = 9, c = 15. Но если 15 делит N, то 5 делит N, и следовательно должен был существовать делитель 5, меньший чем 9, что противоречит тому, что b = 9. Значит этот случай невозможен.

• Случай B: b = q — второй делитель, который является следующим простым делителем после p. Тогда b = q = p + 6, и c = p + 12 должен также делиться N. При этом чтобы b действительно был вторым делителем, следует иметь p^2 > q, что выполняется для p ≥ 5. Также N должно быть кратно p, q = p + 6 и p + 12.

3. Пробуем значения p.

• p = 5: тогда q = 11, c = 17. Нужно, чтобы N делилось на 5, 11 и 17. Тогда минимальное N = lcm(5,11,17) = 5·11·17 = 935. Это число ≤ 1150 и действительно делится на 5, 11 и 17, при этом меньшее делители после 1 — 5, 11, 17, что образуют арифметическую прогрессию с шагом 6. Пример N = 935 удовлетворяет условиям.

• p ≥ 7: минимальное N, чтобы быть кратным и p, q = p+6 и p+12, равно p·(p+6)·(p+12). Уже для p = 7 получаем 7·13·19 = 1729 > 1150, следовательно таких N не существует в пределах M.

4. Следовательно, единственное значение N, удовлетворяющее условию, — N = 935. Поскольку это единственное значение, сумма таких N равна 935.

Ответ: 935