Вопрос 1 Перед своей загадочной кончиной старый граф Факторел спрятал семейное состояние за кодовой дверью. Чтобы открыть её, наследникам предстояло разгадать числовую головоломку. На черной металлической табличке были выгравированы все натуральные делители некоего составного числа N, за исключением единицы. Пока один из юных отпрысков изучал табличку при свете фонаря, он заметил, что три наименьших делителя образуют арифметическую прогрессию с шагом d. Известно, что загадочное число N не превосходит M. Найдите все возможные значения числа N, удовлетворяющие этим условиям. Если таких значений больше одного, запишите их сумму. d = 6 M = 1150 Ваш ответ:

Решение задача с параметрами d = 6 и M = 1150. 1) Пусть три наименьших делителя N, не считая единицы, равны a < b < c, где b = a + 6, c = b + 6. 2) Пусть a = p — наименьший простой делитель N (самый маленький делитель > 1). - Случай A: b = p^2. Тогда p^2 = p + 6, что дает p = 3. Значит a = 3, b = 9, c = 15. Но если 15 делит N, то 5 делит N, и следовательно должен был существовать делитель 5, меньший чем 9, что противоречит тому, что b = 9. Значит этот случай невозможен. - Случай B: b = q — второй делитель, который является следующим простым делителем после p. Тогда b = q = p + 6, и c = p + 12 должен также делиться N. При этом чтобы b действительно был вторым делителем, следует иметь p^2 > q, что выполняется для p ≥ 5. Также N должно быть кратно p, q = p + 6 и p + 12. 3) Пробуем значения p. - p = 5: тогда q = 11, c = 17. Нужно, чтобы N делилось на 5, 11 и 17. Тогда минимальное N = lcm(5,11,17) = 5·11·17 = 935. Это число ≤ 1150 и действительно делится на 5, 11 и 17, при этом меньшее делители после 1 — 5, 11, 17, что образуют арифметическую прогрессию с шагом 6. Пример N = 935 удовлетворяет условиям. - p ≥ 7: минимальное N, чтобы быть кратным и p, q = p+6 и p+12, равно p·(p+6)·(p+12). Уже для p = 7 получаем 7·13·19 = 1729 > 1150, следовательно таких N не существует в пределах M. 4) Следовательно, единственное значение N, удовлетворяющее условию, — N = 935. Поскольку это единственное значение, сумма таких N равна 935. Ответ: 935