3. Дробно-линейная функция задана уравнением: y = (2x - 5)/(x - 2) [6] а) приведите функцию к виду укажите асимптоты; y = (2x - 5)/(x - 2) y = n + k/(x + m) * y b) найдите точки пересечения функции с осями координат; с) постройте график функции.

Задача: дробно-линейная функция y = (2x − 5)/(x − 2). Цель: понять и детально разобрать. Часть a) Приведение к виду y = n + k/(x + m) и асимптоты - Выполним разложение на частное: (2x − 5)/(x − 2) = 2 + (−1)/(x − 2). То есть y = 2 − 1/(x − 2). - В виде y = n + k/(x + m) это эквивалентно: y = 2 + (−1)/(x + (−2)) ⇒ n = 2, k = −1, m = −2. - Асимптоты: - Вертикальная: x = 2 (поскольку знаменатель обращается в нуль). - Горизонтальная: y = 2 (при больших |x| значение стремится к 2). Совет: центр гиперболы находится в точке пересечения асимптот, то есть в (2, 2). Часть b) Пересечения с осями координат - Пересечение с осью y (x = 0): y = (2·0 − 5)/(0 − 2) = (−5)/(−2) = 5/2. Точка: (0, 5/2). - Пересечение с осью x (y = 0): 2x − 5 = 0 ⇒ x = 5/2. Точка: (5/2, 0). - Область определения: x ≠ 2. - Область значений (range): нет y = 2, т.к. решение y = 2 не существует (2x − 5 = 2(x − 2) ⇒ −5 = −4). Часть c) Построение графика Описание свойств графика: - Функция является гиперболой с центром в точке (2, 2). Асимптоты проходят через эту точку: x = 2 и y = 2. - Две ветви: - левая ветвь (x < 2): y > 2, стремится к +∞ при x → 2− и к 2+ при x → −∞; - правая ветвь (x > 2): y < 2, стремится к −∞ при x → 2+ и к 2− при x → +∞. - Промежуточные прямые точки: - при x = 0: y = 2.5 → (0, 2.5); - при x = 1: y = (2 − 5)/(1 − 2) = (−3)/(−1) = 3 → (1, 3); - при x = 3: y = (6 − 5)/(3 − 2) = 1 → (3, 1); - при x = 4: y = (8 − 5)/(4 − 2) = 3/2 = 1.5 → (4, 1.5); - при x = 2.5: y = 0 → пересечение с осью x (правая ветвь). - Примерная схема построения: 1) нарисуйте оси и проведите вертикальную асимптоту x = 2 и горизонтальную асимптоту y = 2; 2) отметьте центр гиперболы (2, 2); 3) нанесите найденные точки: (0, 2.5), (1, 3), (2.5, 0), (3, 1), (4, 1.5); 4) проведите плавные ветви, подходящие к асимптотам: левая ветвь над y = 2 слева от x = 2, правая ветвь под y = 2 справа от x = 2. Итого: - Функция в форме y = 2 − 1/(x − 2); вертикальная асимптота x = 2, горизонтальная асимптота y = 2. - Пересечения: с осью y — (0, 5/2); с осью x — (5/2, 0). - График — две ветви гиперболы, центр в (2, 2), левая ветвь лежит выше y = 2 (для x < 2), правая ветвь ниже y = 2 (для x > 2).