Докажите что отрезок соединяющий середину боковых сторон трапеции параллелен основанию трапеции

Пусть трапеция ABCD такая, что AB ∥ CD (боковые стороны — BC и AD). Обозначим середины BC и AD как M и N соответственно. Нужно показать MN ∥ AB (то же самое — ∥ CD).

Координатное доказательство:

• Разместим AB на оси x: A(0,0), B(a,0). Так как CD ∥ AB, то CD лежит на параллельной прямой, скажем на y = h. Пусть D(p,h), C(q,h).
• Середины боковых сторон:
  • M — середина BC: M((a+q)/2, h/2),
  • N — середина AD: N((0+p)/2, h/2) = (p/2, h/2).
• Видно, у M и N одинаковая координата y: h/2. Значит прямая MN горизонтальна и параллельна AB и CD.

Следовательно, отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основанием трапеции.

Дополнительно: длина MN равна (AB + CD)/2. Если AB = a и CD = q − p (при условии q > p), то MN = (a + (q − p)) / 2.