√15+x + √3+x = 6

Задача: sqrt(15 + x) + sqrt(3 + x) = 6, цель — понять решение.

Условия: x должен удовлетворять x ≥ -3 (чтобы под корнями были неотрицательные числа).

Способ 1. Вводим обозначения и решаем через систему

• Обозначим A = sqrt(15 + x) и B = sqrt(3 + x). Тогда A ≥ 0, B ≥ 0, и:
  • A + B = 6
  • A^2 − B^2 = (15 + x) − (3 + x) = 12
• Факторизуем A^2 − B^2: (A − B)(A + B) = 12. Поскольку A + B = 6, имеем A − B = 12 / 6 = 2.
• Теперь решаем систему:
  • A + B = 6
  • A − B = 2 При сложении: 2A = 8 → A = 4. Тогда B = A − 2 = 2.
• По определению A^2 = 15 + x, следовательно 16 = 15 + x → x = 1.
• Проверка: sqrt(15 + 1) + sqrt(3 + 1) = sqrt(16) + sqrt(4) = 4 + 2 = 6. Условие выполнено, x = 1 допустим.

Способ 2. Прямая квадратичная проверка (для проверки)

• О isolируем одну корень: sqrt(15 + x) = 6 − sqrt(3 + x).
• Возводим в квадрат: 15 + x = 36 − 12 sqrt(3 + x) + (3 + x) = 39 + x − 12 sqrt(3 + x).
• Упростим: 15 = 39 − 12 sqrt(3 + x) → −24 = −12 sqrt(3 + x) → sqrt(3 + x) = 2.
• Следовательно 3 + x = 4 → x = 1. Проверка даёт тот же результат, и он удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: x = 1.