√15+x + √3+x = 6

Задача: sqrt(15 + x) + sqrt(3 + x) = 6, цель — понять решение. Условия: x должен удовлетворять x ≥ -3 (чтобы под корнями были неотрицательные числа). Способ 1. Вводим обозначения и решаем через систему - Обозначим A = sqrt(15 + x) и B = sqrt(3 + x). Тогда A ≥ 0, B ≥ 0, и: - A + B = 6 - A^2 − B^2 = (15 + x) − (3 + x) = 12 - Факторизуем A^2 − B^2: (A − B)(A + B) = 12. Поскольку A + B = 6, имеем A − B = 12 / 6 = 2. - Теперь решаем систему: - A + B = 6 - A − B = 2 При сложении: 2A = 8 → A = 4. Тогда B = A − 2 = 2. - По определению A^2 = 15 + x, следовательно 16 = 15 + x → x = 1. - Проверка: sqrt(15 + 1) + sqrt(3 + 1) = sqrt(16) + sqrt(4) = 4 + 2 = 6. Условие выполнено, x = 1 допустим. Способ 2. Прямая квадратичная проверка (для проверки) - О isolируем одну корень: sqrt(15 + x) = 6 − sqrt(3 + x). - Возводим в квадрат: 15 + x = 36 − 12 sqrt(3 + x) + (3 + x) = 39 + x − 12 sqrt(3 + x). - Упростим: 15 = 39 − 12 sqrt(3 + x) → −24 = −12 sqrt(3 + x) → sqrt(3 + x) = 2. - Следовательно 3 + x = 4 → x = 1. Проверка даёт тот же результат, и он удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: x = 1.