докажите. что медиана прямоугольного треугольника проведена к гипотенузе равна половине гипотенузы?

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в C. Пусть гипотенуза AB, а M — ее середина (то есть M — середина отрезка AB).

Доказательство (геометрическое, через окружность и теорему о диаметре):

• Построим окружность с диагоналем AB, то есть с диаметром AB. Центр этой окружности — середина отрезка AB, то есть точка M, и радиус равен MA = MB = AB/2.
• По теореме Талеса: если точка X лежит на окружности с диаметром AB, то угол AXB равен 90°. Обратим внимание, что в нашем треугольнике ∠ACB = 90°, то значит точка C тоже лежит на этой же окружности (она видит отрезок AB под прямым углом).
• Следовательно A, B, C лежат на окружности с центром M и радиусом MA = MB = MC = AB/2.
• Особенно, расстояние от M до C равно радиусу окружности: MC = AB/2.

Итак, медиана CM к гипотенузе AB равна половине гипотенузы: CM = AB/2. Это и требовалось доказать.

Дополнительно (классический компактный вывод): в прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности треугольника, поэтому она равна радиусу окружности и равна половине гипотенузы.