Х^8=(20-х)^4

Задача: x^8 = (20 - x)^4 Цель: Понять решение подробно. Решение шаг за шагом: 1) Заметим, что обе стороны уже являются квадратами: x^8 = (x^4)^2 и (20 - x)^4 = ((20 - x)^2)^2. Значит можно рассмотреть систему a^2 = b^2, где a = x^4, b = (20 - x)^2. 2) Из a^2 = b^2 следует либо a = b, либо a = -b. - Если a = b: x^4 = (20 - x)^2. - Если a = -b: x^4 = -(20 - x)^2. Но правая сторона неотрицательна только если она равна 0; левая же сторона неотрицательна всегда. Это возможно только если и x^4 = 0 и (20 - x)^2 = 0 одновременно, что невозможно (x не может быть и 0, и 20). Следовательно этот вариант не даёт решений в действительных числах. 3) Следовательно остаётся равенство x^4 = (20 - x)^2. 4) Применим взятие квадратного корня (для неотрицательных сторон): x^2 = |20 - x|. 5) Разобьём по двух случаях в зависимости от знака |20 - x|. - Случай 1: x ≤ 20. Тогда |20 - x| = 20 - x. Получаем x^2 = 20 - x → x^2 + x - 20 = 0. Факторизация: (x + 5)(x - 4) = 0, поэтому x = -5 или x = 4. Оба значения удовлетворяют условию x ≤ 20, значит действительные решения. - Случай 2: x > 20. Тогда |20 - x| = x - 20. Получаем x^2 = x - 20 → x^2 - x + 20 = 0. Дискриминант Δ = (-1)^2 - 4·1·20 = 1 - 80 = -79 < 0. Реальных решений нет. 6) Таким образом, действительных решений у исходного уравнения два: x = -5 и x = 4. Проверка на подстановке (для уверенности): - При x = -5: левые ||x^8|| = 5^8; правые = (20 - (-5))^4 = 25^4; оба равны 390625. - При x = 4: левые = 4^8 = 65536; правые = (20 - 4)^4 = 16^4 = 65536. Оба числа совпадают, значит решения верны. Ответ: x = -5 и x = 4.