Реши треугольник, если  r = 3 13 r=3 13 ​ ,  ∠ ∠ T ≈ 106 ° T≈106°,  ∠ ∠ S ≈ 14 ° S≈14°.

Задача: решить треугольник при данных ∠T ≈ 106°, ∠S ≈ 14° и r = 3/13 (иногда r обозначает радиус вписанной окружности). Шаг 1. Найдём третий угол. ∠R = 180° − (∠T + ∠S) = 180° − (106° + 14°) = 60°. Шаг 2. Обозначим стороны треугольника так: a противоположен ∠T, b противоположен ∠S, c противоположен ∠R. По законам синусов стороны пропорциональны sin уголам: a : b : c = sin106° : sin14° : sin60°. Пусть a = k sin106°, b = k sin14°, c = k sin60°, где k > 0 — некий масштаб. Шаг 3. Связь площади Δ и полупериметра s с данными r: Δ = r · s, где s = (a + b + c)/2. Также Δ можно выразить через две стороны и входящий между ними угол, например Δ = (1/2)ab sin∠R. Так как ∠R = 60°, получаем: Δ = (1/2) (a b) sin60° = (1/2) (k sin106°)(k sin14°) sin60° = (k^2/2) sin106° sin14° sin60°. С учетом Δ = r s: (k^2/2) sin106° sin14° sin60° = r · (a + b + c)/2 = r · (k/2)(sin106° + sin14° + sin60°). После упрощения получаем выражение для k: k · sin106° sin14° sin60° = r · (sin106° + sin14° + sin60°), то есть k = r · (sin106° + sin14° + sin60°) / (sin106° sin14° sin60°). Подставим числа (выполним приблизительно): - sin106° = sin74° ≈ 0.9612617 - sin14° ≈ 0.2419219 - sin60° = 0.8660254 - сумма = 0.9612617 + 0.2419219 + 0.8660254 ≈ 2.069209 - произведение = sin106° · sin14° · sin60° ≈ 0.9612617 · 0.2419219 · 0.8660254 ≈ 0.2011 r = 3/13 ≈ 0.230769 k ≈ r · сумма / произведение ≈ 0.230769 · 2.069209 / 0.2011 ≈ 2.37 (точнее примерно 2.37–2.38). Шаг 4. Найдём стороны треугольника. - a = k sin106° ≈ 2.37 · 0.9612617 ≈ 2.28 - b = k sin14° ≈ 2.37 · 0.2419219 ≈ 0.57 - c = k sin60° ≈ 2.37 · 0.8660254 ≈ 2.06 Итого примерно: - стороне a (против ∠T = 106°): ≈ 2.28 - стороне b (против ∠S = 14°): ≈ 0.57 - стороне c (против ∠R = 60°): ≈ 2.06 Шаг 5. Проверка (на всякий случай). Полупериметр s ≈ (2.28 + 0.57 + 2.06)/2 ≈ 2.45 Площадь Δ = r s ≈ (3/13) · 2.45 ≈ 0.566 Через формулу Δ = (1/2)ab sin60°: (1/2)·2.28·0.57·0.866 ≈ 0.566. Проверка согласуется. Ответ (приближённо): - ∠R = 60° - Стороны: a ≈ 2.28, b ≈ 0.57, c ≈ 2.06 - Радиус вписанной окружности r = 3/13 примерно удовлетворяет условию Δ = r s, Δ ≈ 0.566.