корень из 5

Задача: корень из 5 (то есть sqrt(5))

1. Основное значение (точное)

• sqrt(5) — это число, которое при возведении в квадрат даёт 5.
• Это иррациональное число, его нельзя записать как конечную дробь. Округлённое значение: sqrt(5) ≈ 2.2360679...

2. Постепенное приближение методом Ньютона (пошагово) Цель: решить уравнение x^2 = 5. Используем метод Ньютона: для заданного a > 0 корень из a находится как результат итераций x_{n+1} = (x_n + a/x_n) / 2.

Начальное приближение возьмём x_0 = 2 (потому что 2^2 = 4, а 3^2 = 9 — корень лежит между ними).

• Итерация 1: x_1 = (x_0 + 5/x_0) / 2 = (2 + 5/2) / 2 = (2 + 2.5) / 2 = 4.5 / 2 = 2.25

• Итерация 2: x_2 = (x_1 + 5/x_1) / 2 = (2.25 + 5/2.25) / 2 = (2.25 + 2.222... ) / 2 ≈ 4.472222... / 2 ≈ 2.236111...

• Итерация 3: x_3 = (x_2 + 5/x_2) / 2 ≈ (2.236111... + 5/2.236111...) / 2 ≈ (2.236111... + 2.2360679...) / 2 ≈ 2.2360679...

• Итерация 4 (уже очень близко к точному значению): x_4 ≈ 2.2360679... (сошёлся к одному и тому же десятичному значению)

3. Итог

• Точное значение: sqrt(5).
• Десятичная аппроксимация с хорошей точностью: sqrt(5) ≈ 2.2360679.
• Проверка: (2.2360679)^2 ≈ 5.0000000 (очень близко к 5).

Если нужно, могу показать другую методику приближений (например, простую интерполяцию между 2 и 3 или реализацию на калькуляторе/табличном способе).