найти конечную скорость падения предмета с 12 этажа(36м)

Задача требует выбрать модель падения. Ниже – два варианта решения, чтобы можно было сравнить и понять, как влияет сопротивление воздуха.

1. Без сопротивления воздуха (самая простая модель, часто в школьных задачах)

• Формула: v = sqrt(2 g h), где g ≈ 9,81 м/с², h = 36 м.
• Подстановка: v = sqrt(2 · 9,81 · 36) ≈ sqrt(706,32) ≈ 26,6 м/с.
• Преобразование в км/ч: 26,6 м/с · 3,6 ≈ 95,8 км/ч. Итак, при отсутствии сопротивления воздуха скорость у приземления будет около 26,6 м/с.

2. С учетом сопротивления воздуха (модель с квадратичным сопротивлением) Чтобы получить «конечную скорость падения» (терминальную скорость), нужен набор параметров:

• m — масса предмета,
• A — площадь поперечного сечения, через которое воздух сопротивляется движению,
• C_d — коэффициент сопротивления (для сферы примерно около 0,47, но зависит от шероховатости и режима тяготеющего потока),
• ρ — плотность воздуха (при уровне моря примерно 1,225 кг/м³).

Общие формулы:

• Сила сопротивления: F_drag = (1/2) ρ C_d A v^2.
• В балансе сил на равновесии (конечная скорость) mg = F_drag, отсюда терминальная скорость v_t = sqrt(2 m g / (ρ C_d A)).
• Впрочем, чтобы понять, как скорость растет на заданной высоте, удобно рассмотреть зависимость от пройденного расстояния s. Пусть α = (1/2) ρ C_d A / m. Тогда решение уравнения dv/dt = g − α v^2 даёт зависимость скорости от пройденного расстояния: v(s) = v_t · sqrt(1 − e^(−2 α s)), где v_t = sqrt(2 m g / (ρ C_d A)) и s — пройденное расстояние (м).

Пример (для иллюстрации, чтобы показать порядок величин) Пусть предмет имеет:

• m = 0,5 кг,
• диаметр тела около 0,1 м (A = π r^2 = π (0,05)^2 ≈ 0,00785 м²),
• C_d ≈ 0,47 (сфера, гладкая),
• ρ ≈ 1,225 кг/м³,
• высота h = 36 м (как в задаче).

1. Вычислим vt: vt = sqrt(2 m g / (ρ C_d A)) ≈ sqrt(2 · 0,5 · 9,81 / (1,225 · 0,47 · 0,00785)) ≈ sqrt(9,81 / 0,00451) ≈ sqrt(2170) ≈ 46,6 м/с.

2. Вычислим α: k = (1/2) ρ C_d A = 0,5 · 1,225 · 0,47 · 0,00785 ≈ 0,00225, α = k / m ≈ 0,00225 / 0,5 ≈ 0,00450.

3. Скорость через пройденное расстояние s = 36 м: e^(−2 α s) = e^(−2 · 0,00450 · 36) ≈ e^(−0,324) ≈ 0,724. v(36) = vt · sqrt(1 − 0,724) ≈ 46,6 · sqrt(0,276) ≈ 46,6 · 0,526 ≈ 24,5 м/с.

Получается примерно 24,5 м/с через 36 м, если параметры предмета такие, как в примере. Это близко к безсопротивлению, но уже ниже за счёт сопротивления воздуха.

Ключевые выводы

• В задаче, если не заданы параметры предмета и сопротивления воздуха, можно привести два варианта ответа:
  • без сопротивления: около 26,6 м/с (95,8 км/ч) на Ground при 36 м пути;
  • с сопротивлением воздуха: скорость зависит от массы, площади и Cd. Пример выше показывает, как считать: vt = sqrt(2 m g / (ρ C_d A)) и v(s) = vt sqrt(1 − e^(−2 α s)).
• В вашем случае для точного ответа нужно знать:
  • масса m и геометрию предмета (для A),
  • Cd и ρ (ρ обычно ~1,225 кг/м³ при нормальных условиях).

Хочешь, могу посчитать точный ответ именно под твои данные: пришли массу и размер(ы) предмета или его Cd и предполагаемое поперечное сечение. Также могу рассчитать скорость через всю высоту 36 м для конкретной пары параметров.