2 Юрий сконструировал бицилиндрический сосуд. Он склеил донца двух цилиндрических сосудов разной высоты (H1 = 40 см, H2 = 30 см) и разной площади дна (S1 = 5 см2 и S2 = 20 см ) и…
2 Юрий сконструировал бицилиндрический сосуд. Он склеил донца двух цилиндрических сосудов разной высоты (H1 = 40 см, H2 = 30 см) и разной площади дна (S1 = 5 см2 и S2 = 20 см ) и начал наливать воду во внутренний сосуд. Расход воды (объём воды, добавляемой в сосуд за единицу времени) равен = 3 л/мин. Оказалось, что на середине высоты внутреннего цилиндрического сосуда (Н3 = 20 см) имеется небольшое отверстие. Ускорение свободного падения g = 10 Н/кг. Плотность воды р = 1 г/см. Примечание: объём цилиндра можно вычислить по формуле V = S - H, где S- площадь основания цилиндра, Н высота цилиндра. Сколько воды наливается во внутренний цилиндр за 1 секунду? Ответ выразите в миллилитрах, округлите до целых.
Кратко напомню данные:
- Границы сосудов: H1 = 40 см, S1 = 5 см^2 (один цилиндр); H2 = 30 см, S2 = 20 см^2 (второй цилиндр). Они склеены донцами.
- Внутренний сосуд — тот, куда наливают воду. В середине высоты внутреннего цилиндра (H3 = 20 см) имеется отверстие.
- Расход воды: 3 л/мин = 3000 см^3/мин = 50 см^3/с.
- Плотность воды: ρ = 1 г/см^3 (для исчислений не обязательно, достаточно объемов).
- Примечание по объему цилиндра: V = S × H (в вашем примечании опечатка: V = S - H).
Задача: сколько воды наливается во внутренний цилиндр за 1 секунду?
Разобьем на две стадии.
- До момента, пока высота воды в внутреннем цилиндре не достигнет отверстия (h ≤ 20 см)
- В этом периоде вода не может уходить в наружный цилиндр через отверстие (оно находится на уровне 20 см, наружный уровень ещё пуст).
- Объем воды во внутреннем цилиндре V_in = S2 × h, где h — высота воды в нем.
- Скорость подъема высоты: dh/dt = Q_in / S2 = 50 cm^3/s / 20 cm^2 = 2.5 cm/s.
- Время достижения h = 20 см: t1 = 20 / 2.5 = 8 секунд.
- В первый момент (до t1) вся подаваемая вода остаётся во внутреннем цилиндре. За 1 секунду во внутренний цилиндр начисляется 50 cm^3 = 50 мл.
- После того, как вода достигла отверстия (h ≥ 20 см), внутренний и наружный цилиндры образуют соединённую систему: высоты уровней в обоих цилиндрах равны (h_in = h_out = h).
- Общий объем воды в обеих частях при высоте h: V_total = (S1 + S2) × h.
- Производный поток: dV_total/dt = Q_in → dh/dt = Q_in / (S1 + S2) = 50 cm^3/s / (5 + 20) cm^2 = 50 / 25 = 2 cm/s.
- Текущий расход воды во внутренний цилиндр (изменение его объема): dV_in/dt = S2 × dh/dt = 20 cm^2 × 2 cm/s = 40 cm^3/s = 40 мл/с.
- Это справедливо для периода, когда h находится между 20 и 30 см (пока внутренний цилиндр не заполнится до верхнего уровня H2 = 30 см).
Итого:
- В первый момент (до того, как отверстие начнёт проводить воду в наружный цилиндр) во внутренний цилиндр за 1 секунду поступает 50 мл.
- После того, как высоты в двух цилиндрах выровнялись (после достижения h = 20 см), во внутренний цилиндр попадает 40 мл за 1 секунду.
Ответ на задачу в контексте переходного периода (после открытия отверстия, когда высоты равны): 40 мл за 1 секунду. Если же говорить строго о самой первой секунде до момента соприкосновения воды с отверстием — 50 мл.
