В прямоугольной трапеции абцд а параллельно бц угол а равен девяносто градусов бц равно семь сантиметров аб равно восемь сантиметров а наименьший угол равен сорок пять градусов найдите основание трапеции ад
Задача (принимаем стандартное расположение трапеции): AB ∥ CD, A = 90°, AB = 8 см, BC = 7 см, наименьший угол равен 45°. Найти AD.
1) Расстановка координат
- Пусть A = (0, 0), B = (8, 0) (AB лежит по оси x).
- Так как A = 90°, сторона AD перпендикулярна AB, поэтому D = (0, h), где h = AD.
- Поскольку AB ∥ CD, линия CD горизонтальная, значит C = (x, h) для некоторого x.
- BC = 7 даёт уравнение расстояния между B и C:
(x − 8)^2 + h^2 = 7^2 = 49. (1)
2) Угол B в трапеции
- Векторы: BA = A − B = (−8, 0), BC = C − B = (x − 8, h).
- Прямой косинус и синус угла B можно выразить через векторы:
|BA × BC| = |(−8, 0) × (x − 8, h)| = 8h.
|BA||BC| = 8 · 7 = 56.
Поэтому sin B = |BA × BC| / (|BA||BC|) = (8h)/56 = h/7.
- Из условия, что наименьший угол равен 45°, возможно либо B = 45°, либо C = 45°. В любом случае sin B = sin 45° = √2/2.
Следовательно
h/7 = √2/2 ⇒ h = 7√2/2.
3) Ответ
AD = h = 7√2/2 см ≈ 4,95 см.
Дополнительно можно найти координату C:
- если B = 45°, cos B = √2/2 = (8 − x)/7 → x = 8 − 7√2/2 ≈ 3,05;
- если B = 135°, cos B = −√2/2 = (8 − x)/7 → x = 8 + 7√2/2 ≈ 12,95.
Но это не требуется для нахождения AD.
Итак, основание AD трапеции по заданию равно AD = 7√2/2 см (приблизительно 4.95 см).
