рыбак на лодке плывёт против течения реки. Проплывая под мостом, он теряет попловок. Через 12 минут после потери рыбак поворачивает и плывёт обратно. На расстоянии 1,5 км от места…

Задача решается так, чтобы скорость течения можно было найти без знания скорости лодки в спокойной воде. Ниже подробное решение.

Даны:

• t1 = время до разворота = 12 минут = 0.2 часа.
• x_meet = расстояние в направлении течения от моста, где догнали поплавок = 1.5 км.
• Обозначим v – скорость течения (искомая).

Пусть u – скорость лодки в спокойной воде (скорость лодки относительно воды). Скорости лодки относительно берега:

• при движении против течения: u - v,
• при движении по течению: u + v.

1. Время до догонки поплавка Поплавок движется только по течению, значит его положение через время t равно x_float = v · t. Поскольку догнали поплавок именно через момент t_meet, где x_float = x_meet = 1.5 км, имеем: t_meet = x_meet / v = 1.5 / v.

2. Путь лодки

• Сначала лодка плывёт против течения 0.2 ч, пройдя дистанцию (u - v)·0.2 и оказавшись на расстоянии -(u - v)·0.2 от моста.
• Затем она разворачивается и плывёт по течению до времени t_meet: время пролёта downstream равно t_meet - t1, а пройденная этим этапом дистанция — (u + v)·(t_meet - t1).

Итого положение лодки к моменту догонки равно: x_boat(t_meet) = - (u - v)·t1 + (u + v)·(t_meet - t1).

По условию догнали поплавок на расстоянии x_meet = 1.5 км, то есть: 1.5 = x_boat(t_meet).

3. Подстановка и упрощение Подставим t1 = 0.2 и t_meet = 1.5 / v: 1.5 = - (u - v)·0.2 + (u + v)·(1.5/v - 0.2).

Раскроем скобки и аккуратно упростим: 1.5 = -u·0.2 + v·0.2 + u·(1.5/v) + v·(1.5/v) - u·0.2 - v·0.2.

Сгруппируем члены: 1.5 = u·(1.5/v) + v·(1.5/v) - 2u·0.2.

Заметим, что v·(1.5/v) = 1.5, и 2·0.2 = 0.4: 1.5 = u·(1.5/v) + 1.5 - 0.4u.

Уберём одинаковые 1.5 справа слева: 0 = u·(1.5/v) - 0.4u = u·(1.5/v - 0.4).

Поскольку скорость лодки u не равна нулю, имеем: 1.5/v - 0.4 = 0 ⇒ 1.5/v = 0.4 ⇒ v = 1.5 / 0.4 = 3.75 км/ч.

4. Ответ Скорость течения реки v = 3.75 км/ч.

Перевод в м/с: 3.75 км/ч ≈ 1.04 м/с.

Примечание для понимания: результат получен без знания скорости лодки в спокойной воде; формула получилась независимо от u благодаря данным задачи: точки разворота и положение догонки заданы так, что скорости лодки и воды «переключаются» в одном выражении и Cancelaются в процессе решения. Это характерно для таких задач на движение по рекам.