Задача решается так, чтобы скорость течения можно было найти без знания скорости лодки в спокойной воде. Ниже подробное решение.
Даны:
- t1 = время до разворота = 12 минут = 0.2 часа.
- x_meet = расстояние в направлении течения от моста, где догнали поплавок = 1.5 км.
- Обозначим v – скорость течения (искомая).
Пусть u – скорость лодки в спокойной воде (скорость лодки относительно воды). Скорости лодки относительно берега:
- при движении против течения: u - v,
- при движении по течению: u + v.
Время до догонки поплавка
Поплавок движется только по течению, значит его положение через время t равно x_float = v · t.
Поскольку догнали поплавок именно через момент t_meet, где x_float = x_meet = 1.5 км, имеем:
t_meet = x_meet / v = 1.5 / v.
Путь лодки
- Сначала лодка плывёт против течения 0.2 ч, пройдя дистанцию (u - v)·0.2 и оказавшись на расстоянии -(u - v)·0.2 от моста.
- Затем она разворачивается и плывёт по течению до времени t_meet: время пролёта downstream равно t_meet - t1, а пройденная этим этапом дистанция — (u + v)·(t_meet - t1).
Итого положение лодки к моменту догонки равно:
x_boat(t_meet) = - (u - v)·t1 + (u + v)·(t_meet - t1).
По условию догнали поплавок на расстоянии x_meet = 1.5 км, то есть:
1.5 = x_boat(t_meet).
- Подстановка и упрощение
Подставим t1 = 0.2 и t_meet = 1.5 / v:
1.5 = - (u - v)·0.2 + (u + v)·(1.5/v - 0.2).
Раскроем скобки и аккуратно упростим:
1.5 = -u·0.2 + v·0.2 + u·(1.5/v) + v·(1.5/v) - u·0.2 - v·0.2.
Сгруппируем члены:
1.5 = u·(1.5/v) + v·(1.5/v) - 2u·0.2.
Заметим, что v·(1.5/v) = 1.5, и 2·0.2 = 0.4:
1.5 = u·(1.5/v) + 1.5 - 0.4u.
Уберём одинаковые 1.5 справа слева:
0 = u·(1.5/v) - 0.4u = u·(1.5/v - 0.4).
Поскольку скорость лодки u не равна нулю, имеем:
1.5/v - 0.4 = 0 ⇒ 1.5/v = 0.4 ⇒ v = 1.5 / 0.4 = 3.75 км/ч.
- Ответ
Скорость течения реки v = 3.75 км/ч.
Перевод в м/с: 3.75 км/ч ≈ 1.04 м/с.
Примечание для понимания: результат получен без знания скорости лодки в спокойной воде; формула получилась независимо от u благодаря данным задачи: точки разворота и положение догонки заданы так, что скорости лодки и воды «переключаются» в одном выражении и Cancelaются в процессе решения. Это характерно для таких задач на движение по рекам.
