решить методом интервалов: -3х(х+5)(х+8)>0

Задача: решить методом интервалов -3x(x+5)(x+8) > 0.

Пошаговое решение:

1. Обозначим выражение: f(x) = -3x(x+5)(x+8).

2. Замечаем, что константа -3 отрицательная. Если умножить обе части неравенства на -1, знак неравенства поменяется: -3x(x+5)(x+8) > 0 эквивалентно x(x+5)(x+8) < 0.

3. Найдем нули множителей, т.к. именно в этих точках меняется знак: x = 0, x = -5, x = -8.

4. Остроим порядок критических точек по возрастанию: -8 < -5 < 0.

5. Построим знакочередование на интервалах, разбив числовую прямую на участки:

   • (-∞, -8)
   • (-8, -5)
   • (-5, 0)
   • (0, ∞)

Проверяем знак произведения x(x+5)(x+8) на каждом интервале (берём произвольное число в интервале и подставляем):

• x < -8, например x = -9: (-)(-) (-) → знак отрицательный.
• -8 < x < -5, например x = -6: (-)(-)(+) → знак положительный.
• -5 < x < 0, например x = -1: (-)(+)(+) → знак отрицательный.
• x > 0, например x = 1: (+)(+)(+) → знак положительный.

6. Неравенство требует < 0, следовательно выбираем интервалы с отрицательным знаком: (-∞, -8) и (-5, 0).

7. Проверяем концы: при x = -8, -5, 0 выражение равно нулю, а неравенство строгое (>0) не допускает нулей. Значит концы не включаются.

Ответ: (-∞, -8) ∪ (-5, 0)