Между пунктами А и В находящимися на одной реке на расстоянии S = 36 км, непрерывно курсирует катер, мгновенно разворачиваясь без остановок в пунктах. В момент выхода катера из А вместе с ним оправляется по течению плот к пункту В. Скорость течения реки составляет V, = 4 км/ч. Известно, что первая встреча катера с плотом произошла на расстоянии dj = 9 км от пункта А. Сколько раз встретятся катер и плот, не считая встречу в начальный момент времени?

Даны: S = 36 км, скорость течения V = 4 км/ч. Плот стартует вместе с катером в A и идёт по течению к B. Пусть скорость катера относительно воды равна U. 1) Первая встреча на расстоянии 9 км от A. - Плот идёт со скоростью V, поэтому время до первой встречи t1 = 9 / V = 9/4 = 2.25 ч. - Катер сначала идёт до B, затем идёт обратно к плотe. Пусть время движения катера до B равно t_down = S / (U + V), а обратного пути до встречи — t_up = S / (U - V). - По условию первая встреча случилась на обратном участке, значит решение даёт U = 28 км/ч. (Проверка: t_down = 36/(28+4) = 36/32 = 1.125 ч; за это время плот успевает уйти на 4·1.125 = 4.5 км; на обратном участке катер за Δt = 2.25 − 1.125 = 1.125 ч идёт обратно со скоростью U − V = 24 км/ч, пройдя 24·1.125 = 27 км обратно; место встречи = 36 − 27 = 9 км. Всё сходится.) 2) Теперь можно посчитать времена встреч на следующих участках (когда катер идёт вдоль или против течения, рафту достаточно просто двигаться со скоростью V): - Длительность подряд идущих участков катера (период полного цикла A→B→A): t_down = 36/(U+V) = 36/32 = 1.125 ч; t_up = 36/(U−V) = 36/24 = 1.5 ч. Полный цикл занимает 2.625 ч, катер снова оказывается в A. - Рафт идёт по реке со скоростью 4 км/ч, поэтому x_рафта(t) = 4t. Значения времени встреч можно найти на каждом leg катера: Leg 2 (вверх к A): t ∈ [1.125, 2.625], x_b(t) = 36 − 24(t − 1.125) = 63 − 24t. Равенство 4t = x_b(t) даёт t = 63/28 = 2.25 ч (первая встреча после t1). Leg 3 (вниз к B): t ∈ [2.625, 3.75], x_b(t) = 32(t − 2.625). 4t = 32(t − 2.625) ⇒ 4t = 32t − 84 ⇒ 28t = 84 ⇒ t = 3.0 ч. Leg 4 (вверх): t ∈ [3.75, 5.25], x_b(t) = 126 − 24t. 4t = 126 − 24t ⇒ 28t = 126 ⇒ t = 4.5 ч. Leg 5 (вниз): t ∈ [5.25, 6.375], x_b(t) = 32(t − 5.25). 4t = 32(t − 5.25) ⇒ 28t = 168 ⇒ t = 6.0 ч. Leg 6 (вверх): t ∈ [6.375, 7.875], x_b(t) = 189 − 24t. 4t = 189 − 24t ⇒ 28t = 189 ⇒ t = 6.75 ч. Leg 7 (вниз до B): t ∈ [7.875, 9.0], x_b(t) = 32(t − 7.875). 4t = 32(t − 7.875) ⇒ 28t = 252 ⇒ t = 9.0 ч. Итак, встреч было на следующих временах (кроме начального момента 0): 2.25; 3.00; 4.50; 6.00; 6.75; 9.00 ч. 3) Ответ: катер и плот встретятся 6 раз (не считая встречи на начальном моменте).