Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту α=40∘. Масса бруска m=3 кг. В момент времени t=0 с брусок отпускают и при этом к нему прикладывают силу, которая направлена вверх параллельно наклонной плоскости. Зависимость модуля силы от времени описывается формулой F=βt, где β=0.2 Н/с. Ускорение свободного падения примите равным g=10 м/с2. В какой момент времени брусок остановится

Дано: безтрениевая гладкая наклонная плоскость, угол α = 40°, масса m = 3 кг. В момент t = 0 блок отпускают, к нему прикладывают силу вдоль наклонной вверх по плоскости F = β t, где β = 0.2 N/s. g = 10 м/с². Цель: найти момент времени, когда брусок остановится (velocity along плоскости v = 0). 1) Система координат и силы - Пусть положительное направление along the plane вверх по наклонной. - Сила тяжести вдоль плоскости направлена вниз и имеет компоненту m g sin α (отрицательная по нашей системе). - При приложении сила вверх: F_up = β t. - Сила вдоль плоскости: F_net = F_up − m g sin α. 2) Уравнение движения - Ускорение along the plane: a(t) = F_net / m = (β t)/m − g sin α. 3) Скорость как функция времени - Начальная скорость v(0) = 0 (при отпускании из покоя). - Интегрируем ускорение: v(t) = ∫0^t a(τ) dτ = (β/(2m)) t² − g sin α · t. 4) Точек остановки (v = 0) - Решаем v(t) = 0, кроме тривиального t = 0: (β/(2m)) t² − g sin α · t = 0 t [ (β t)/(2m) − g sin α ] = 0 t = 0 или t = (2 m g sin α)/β. 5) Подстановка чисел - sin α = sin 40° ≈ 0.6428. - g sin α ≈ 10 · 0.6428 ≈ 6.428 м/с². - t_stop = (2 m g sin α)/β = (2 · 3 · 10 · 0.6428) / 0.2 ≈ 192.8 s. 6) Дополнительная примечание - Время, когда ускорение становится нулём: t_accel_zero = (m g sin α)/β ≈ (3 · 10 · 0.6428)/0.2 ≈ 96.4 s. После этого ускорение становится положительным, и скорость по мере подъёма будет уменьшаться до нуля позже, примерно в 192.8 s. Ответ: брусок остановится через примерно 1.93 × 10^2 с (около 193 секунд) после начала движения.