Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту α=40∘. Масса бруска m=3 кг. В момент времени t=0…

Дано: безтрениевая гладкая наклонная плоскость, угол α = 40°, масса m = 3 кг. В момент t = 0 блок отпускают, к нему прикладывают силу вдоль наклонной вверх по плоскости F = β t, где β = 0.2 N/s. g = 10 м/с².

Цель: найти момент времени, когда брусок остановится (velocity along плоскости v = 0).

1. Система координат и силы

• Пусть положительное направление along the plane вверх по наклонной.

• Сила тяжести вдоль плоскости направлена вниз и имеет компоненту m g sin α (отрицательная по нашей системе).

• При приложении сила вверх: F_up = β t.

• Сила вдоль плоскости: F_net = F_up − m g sin α.

2. Уравнение движения

• Ускорение along the plane: a(t) = F_net / m = (β t)/m − g sin α.

3. Скорость как функция времени

• Начальная скорость v(0) = 0 (при отпускании из покоя).
• Интегрируем ускорение: v(t) = ∫0^t a(τ) dτ = (β/(2m)) t² − g sin α · t.

4. Точек остановки (v = 0)

• Решаем v(t) = 0, кроме тривиального t = 0: (β/(2m)) t² − g sin α · t = 0 t [ (β t)/(2m) − g sin α ] = 0 t = 0 или t = (2 m g sin α)/β.

5. Подстановка чисел

• sin α = sin 40° ≈ 0.6428.
• g sin α ≈ 10 · 0.6428 ≈ 6.428 м/с².
• t_stop = (2 m g sin α)/β = (2 · 3 · 10 · 0.6428) / 0.2 ≈ 192.8 s.

6. Дополнительная примечание

• Время, когда ускорение становится нулём: t_accel_zero = (m g sin α)/β ≈ (3 · 10 · 0.6428)/0.2 ≈ 96.4 s. После этого ускорение становится положительным, и скорость по мере подъёма будет уменьшаться до нуля позже, примерно в 192.8 s.

Ответ: брусок остановится через примерно 1.93 × 10^2 с (около 193 секунд) после начала движения.