В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите угол ABC, если 6 BAC = 30◦ , а 6 BMC = 45◦ .
Задача: В треугольнике ABC проведена медиана BM (M — середина AC). Найдите угол ∠ABC, если 6∠BAC = 30° и 6∠BMC = 45°.
Пусть углы треугольника обозначим как A = ∠BAC, B = ∠ABC, C = ∠ACB. Даны:
- 6A = 30° ⇒ A = 5°.
- 6∠BMC = 45° ⇒ ∠BMC = 7.5°.
- Упростим задачу геометрически, введя координаты.
- Пусть A = (0, 0), C = (1, 0). Тогда M — середина AC и равен (1/2, 0).
- Пусть AB = t. Угол ∠A между AB и AC равен A = 5°, значит вектор AB направлен под углом 5° к оси x. Тогда точка B имеет координаты: B = (t cos A, t sin A) = (t cos 5°, t sin 5°).
- Выразим угол ∠BMC через координаты.
- MB = B − M = (t cos 5° − 1/2, t sin 5°).
- MC = C − M = (1/2, 0). Угол между MB и MC задаётся cos ∠BMC = (MB · MC) / (|MB| |MC|).
Так как MC = (1/2, 0), получаем cos ∠BMC = [ (t cos 5° − 1/2) (1/2) ] / [ |MB| (1/2) ] = ( t cos 5° − 1/2 ) / sqrt( t^2 − t cos 5° + 1/4 ).
Задаётся ∠BMC = 7.5°, поэтому ( t cos 5° − 1/2 ) / sqrt( t^2 − t cos 5° + 1/4 ) = cos 7.5°.
С учётом того, что задача масштабно-инвариантна по AC (мы ввели AC = 1), это квадратное уравнение по t даёт два решения: t ≈ 0.301 и t ≈ 1.499.
- Теперь найдём угол ∠ABC для каждого решения t. Угол при вершине B между BA и BC можно выразить через координаты:
- BA = A − B = (− t cos 5°, − t sin 5°).
- BC = C − B = (1 − t cos 5°, − t sin 5°).
cos ∠ABC = (BA · BC) / (|BA| |BC|).
После упрощений получаем cos ∠ABC = ( t − cos 5° ) / sqrt( (1 − t cos 5°)^2 + t^2 sin^2 5° ).
Подставляя два значения t:
При t ≈ 1.499: cos ∠ABC ≈ 0.985, значит ∠ABC ≈ arccos(0.985) ≈ 10°.
При t ≈ 0.301: cos ∠ABC ≈ −0.991, значит ∠ABC ≈ arccos(−0.991) ≈ 171°.
- Вывод. Существуют две геометрически допустимые конфигурации, удовлетворяющие условиям задачи. В рамках обычного ответа на вопрос «найти угол ∠ABC» чаще приводят меньшую внутреннюю величину, то есть ∠ABC ≈ 10°.
Ответ: примерно 10°. (Возможна أيضاً вторичная конфигурация с ∠ABC ≈ 171°, но чаще её не рассматривают как основной вариант.)
