1.1. Постройте график функции y=((x²+1)(x-2)):(2-x) Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Цель задачи: понять, как построить график и найти значения k, при которых прямая y = kx имеет ровно одну общую точку с графиком. 1) Анализ графика функции - Исходная функция: y = ((x^2+1)(x-2)):(2-x). - Заметим, что 2 - x = -(x - 2). Поэтому для всех x, кроме x = 2 (где знаменатель нулевой), имеем: y = (x^2+1)(x-2)/(2-x) = -(x^2+1). - Следовательно график состоит из параболы y = -x^2 - 1, за исключением точки x = 2, где график имеет «дыру» (hole) в точке (2, -5). То есть график — это парабола y = -x^2 - 1 с пропуском через точку (2, -5). 2) Взаимодействие с прямой y = kx - Чтобы найти точки пересечения, подставим y = kx в уравнение параболы: kx = -x^2 - 1. - Приведём к квадратичному уравнению: x^2 + kx + 1 = 0. - Решение пересечения по количеству действительных корней: Δ = k^2 - 4. • Если Δ < 0 — пересечений нет. • Если Δ = 0 — ровно одно пересечение (касательная) при x = -k/2. • Если Δ > 0 — два пересечения (два разных x), за исключением одного случая, когда один из корней равен 2, потому что тогда точка x = 2 относится к пропавшему месту на графике и не считается пересечением графика. 3) Особый случай: когда корень равен 2 - Чтобы корень x = 2 был корнем уравнения x^2 + kx + 1 = 0, подставим: 4 + 2k + 1 = 0 ⇒ 2k + 5 = 0 ⇒ k = -5/2. - При k = -5/2 уравнение x^2 - (5/2)x + 1 = 0 имеет корни x = 2 и x = 1/2. Точка x = 2 — это hole, поэтому реальное пересечение — только at x = 1/2. Таким образом, при k = -5/2 будет ровно одно пересечение. 4) Получение всех нужных k - Δ = 0 даёт одно пересечение, если корень не совпадает с точкой hole: k = 2 или k = -2 — в обоих случаях корень x = -k/2 не равен 2, значит одно пересечение. - Специальный случай k = -5/2 даёт одно пересечение (потому что другой корень равен 2, который исключаем как точку на графике). Итак, значения k, при которых прямая y = kx имеет ровно одну общую точку с графиком функции, равны: - k = 2, k = -2, и k = -5/2. Проверка примеров: - k = 2: уравнение x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0 → x = -1; точка пересечения (-1, -2) на графике. - k = -2: уравнение x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0 → x = 1; точка пересечения (1, -2) на графике. - k = -5/2: корни x = 2 и x = 1/2, но x = 2 не считается (hole), остаётся единственное пересечение при x = 1/2, y = (-5/2)*(1/2) = -5/4.