2.119. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 22 и 55; б) 40 и 50; в) 270 и 450; г) 40, 60 и 15.

Задача требует найти наименьшее общее кратное (НОК) для заданных чисел. Способ: разложим каждое число на простые множители и возьмем для каждого простого множителя максимальную встречающуюся у всех чисел степень. Перемножим полученные множители.

1. a) НОК(22, 55)

• Разложения на простые:
  • 22 = 2 · 11
  • 55 = 5 · 11
• В разложения добавляем множитель 11 с общей степенью 1 (максимальная из чисел): 2^1, 5^1, 11^1
• НОК = 2 · 5 · 11 = 110

Ответ: 110

2. b) НОК(40, 50)

• Разложения на простые:
  • 40 = 2^3 · 5
  • 50 = 2 · 5^2
• Взяв максимальные степени: 2^3 и 5^2
• НОК = 2^3 · 5^2 = 8 · 25 = 200

Ответ: 200

3. c) НОК(270, 450)

• Разложения на простые:
  • 270 = 2 · 3^3 · 5
  • 450 = 2 · 3^2 · 5^2
• Максимальные степени по каждому простому:
  • 2^1, 3^3, 5^2
• НОК = 2 · 3^3 · 5^2 = 2 · 27 · 25 = 54 · 25 = 1350

Проверка через НОК двумя числами: НОК(270,450) = 1350.

Ответ: 1350

4. г) НОК(40, 60, 15)

• Разложения на простые:
  • 40 = 2^3 · 5
  • 60 = 2^2 · 3 · 5
  • 15 = 3 · 5
• Максимальные степени по каждому простому:
  • 2^3, 3^1, 5^1
• НОК = 2^3 · 3 · 5 = 8 · 15 = 120

Ответ: 120

Краткое замечание: можно посчитать по парам, например:

• НОК(40, 60) = 120, и далее НОК(120, 15) = 120.
• НОК(270, 450) = 1350 (через НОД: НОК = a·b / gcd(a,b) = 270·450 / 90 = 1350).