2.119. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 22 и 55; б) 40 и 50; в) 270 и 450; г) 40, 60 и 15.

Цель: Понять — разберём подробно.

Что такое НОК (наименьшее общее кратное):

• Это наименьшее число, которое кратно всем данным числам.

Способы найти НОК:

• Воспользоваться разложением на простые множители и взять максимум степеней каждого простого множителя (наибольшие степены, встречающиеся среди разложений).
• Или воспользоваться формулой НОК(a,b) = a·b / НОД(a,b) (НОД — наибольший общий делитель).

Задача 2.119: Найдите НОК чисел а) 22 и 55 б) 40 и 50 в) 270 и 450 г) 40, 60 и 15

а) 22 и 55

• Разложим на простые множители:
  • 22 = 2 · 11
  • 55 = 5 · 11
• Чтобы получить НОК, берём все простые множители с максимальными степенями: 2^1, 5^1, 11^1.
• НОК = 2 · 5 · 11 = 110.
• Проверка: 110 кратно 22 и 55.

б) 40 и 50

• Разложим на простые множители:
  • 40 = 2^3 · 5
  • 50 = 2 · 5^2
• Максимальные степени: 2^3 и 5^2.
• НОК = 2^3 · 5^2 = 8 · 25 = 200.
• Проверка: 200 кратно 40 и 50.

в) 270 и 450

• Разложим на простые множители:
  • 270 = 2 · 3^3 · 5
  • 450 = 2 · 3^2 · 5^2
• Максимальные степени: 2^1, 3^3, 5^2.
• НОК = 2 · 3^3 · 5^2 = 2 · 27 · 25 = 1350.
• Проверка: 1350 кратно и 270, и 450. Можно также через НОД: НОК = 270 · 450 / НОД(270,450) = 270 · 450 / 90 = 1350.

г) 40, 60 и 15

• Разложим на простые множители:
  • 40 = 2^3 · 5
  • 60 = 2^2 · 3 · 5
  • 15 = 3 · 5
• Максимальные степени по каждому простому фактору: 2^3, 3^1, 5^1.
• НОК = 2^3 · 3 · 5 = 8 · 3 · 5 = 120.
• Проверка: 120 кратно 40, 60 и 15.

Ответы: a) 110 b) 200 c) 1350 d) 120

Если хочешь, могу показать ещё один способ вычисления (через НОД) на одном из примеров.