Плоскость α α не пересекает параллелограмм M N K P MNKP . Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α α в точках M 1 M 1 , N 1 N…
Плоскость α α не пересекает параллелограмм M N K P MNKP. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α α в точках M 1 M 1 , N 1 N 1 , K 1 K 1 и P 1 P 1 соответственно. Известно, что M M 1 = 23 MM 1 =23, N N 1 = 12 NN 1 =12 и P P 1 = 24 PP 1 =24. Найди длину отрезка K K 1 KK 1 .
Решение:
По условию плоскость α не пересекает параллелограмм MNKP, значит все вершины MNKP лежат на одной стороне α. Следовательно их расстояния до α вдоль заданного направления прямых одинаково пропорциональны их ориентированным высотам над α. Обозначим эти ориентированные высоты как z_M, z_N, z_K, z_P. Тогда существует положительная константа пропорциональности t такая, что: MM1 = t|z_M|, NN1 = t|z_N|, PP1 = t|z_P|, KK1 = t|z_K|. Поскольку вершины лежат на одной стороне α, можно считать z_M, z_N, z_P, z_K однозначно положительными (или все отрицательными, знак можно вынести в знак расстояний).
В параллелограмме MNKP выполняется тождество по координтам по одной прямой: сумма противоположных вершин по одной координате равна сумме противоположных вершин другой пары. В частности для высот (относительно α) справедливо: z_M + z_K = z_N + z_P.
Учитывая пропорциональность расстояний к высотам, из предыдущего следует: MM1 + KK1 = NN1 + PP1.
Подставим данные: NN1 = 12, PP1 = 24, MM1 = 23. Тогда: KK1 = NN1 + PP1 − MM1 = 12 + 24 − 23 = 13.
Ответ: KK1 = 13.
