Плоскость  α α не пересекает параллелограмм  M N K P MNKP. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость  α α в точках  M 1 M 1 ​ ,  N 1 N 1 ​ ,  K 1 K 1 ​  и  P 1 P 1 ​  соответственно. Известно, что  M M 1 = 23 MM 1 ​ =23,  N N 1 = 12 NN 1 ​ =12 и  P P 1 = 24 PP 1 ​ =24. Найди длину отрезка  K K 1 KK 1 ​ .

Решение: - По условию плоскость α не пересекает параллелограмм MNKP, значит все вершины MNKP лежат на одной стороне α. Следовательно их расстояния до α вдоль заданного направления прямых одинаково пропорциональны их ориентированным высотам над α. Обозначим эти ориентированные высоты как z_M, z_N, z_K, z_P. Тогда существует положительная константа пропорциональности t такая, что: MM1 = t|z_M|, NN1 = t|z_N|, PP1 = t|z_P|, KK1 = t|z_K|. Поскольку вершины лежат на одной стороне α, можно считать z_M, z_N, z_P, z_K однозначно положительными (или все отрицательными, знак можно вынести в знак расстояний). - В параллелограмме MNKP выполняется тождество по координтам по одной прямой: сумма противоположных вершин по одной координате равна сумме противоположных вершин другой пары. В частности для высот (относительно α) справедливо: z_M + z_K = z_N + z_P. - Учитывая пропорциональность расстояний к высотам, из предыдущего следует: MM1 + KK1 = NN1 + PP1. - Подставим данные: NN1 = 12, PP1 = 24, MM1 = 23. Тогда: KK1 = NN1 + PP1 − MM1 = 12 + 24 − 23 = 13. Ответ: KK1 = 13.