В треугольнике ABC известно, что AB=7, BC=8, AC=9. Из точки B опустили перпендикуляры BP и BQ на внутренние биссектрисы углов A и C соответственно. Найдите отрезок PQ.

Задача: в треугольнике ABC стороны AB=7, BC=8, AC=9. Из точки B опустили перпендикуляры BP и BQ на внутренние биссектрисы углов A и C соответственно. Найдите PQ. Решение 1) Установим координаты - Положим B в начале O(0,0), A на оси x: A(7,0). - Пусть C(x, y). Тогда: - BC = 8: x^2 + y^2 = 64 - AC = 9: (x − 7)^2 + y^2 = 81 Вычитая второе уравнение из первого, получаем x = 16/7. Тогда y^2 = 64 − (16/7)^2 = 2880/49, значит y = 24√5/7 (берём положительную). Итак, координаты вершин: B(0,0), A(7,0), C(16/7, 24√5/7). 2) Биссектор угла A и точка P - Векторы от A к B и к C: AB = B − A = (−7, 0), |AB| = 7, u_AB = (−1, 0). AC = C − A = (−33/7, 24√5/7), |AC| = 9, u_AC = (−11/21, 8√5/21). - Направление биссектрисы A: v_A = u_AB + u_AC = (−32/21, 8√5/21). Масштабируем: можно взять v = (−32, 8√5). - Прямая биссектора A: L_A: A + t v = (7, 0) + t(−32, 8√5). - Точка P — точка пересечения этой прямой с перпендикуляром, опущенным из B. Поскольку P на L_A и BP ⟂ L_A, то t0 = v · (B − A) / (v · v). B − A = (−7, 0), v = (−32, 8√5). v · (B − A) = (−32)(−7) + (8√5)·0 = 224. v · v = (−32)^2 + (8√5)^2 = 1024 + 320 = 1344. t0 = 224/1344 = 1/6. - Следовательно, P = A + (1/6)v = (7,0) + (1/6)(−32, 8√5) = (7 − 32/6, (8√5)/6) = (5/3, 4√5/3). 3) Биссектор угла C и точка Q - Векторы от C к B и к A: C→B: B − C = (−16/7, −24√5/7), |CB| = 8, u_CB = (−2/7, −3√5/7). C→A: A − C = (7 − 16/7, −24√5/7) = (33/7, −24√5/7), |CA| = 9, u_CA = (11/21, −8√5/21). - Направление биссекторa C: v_C = u_CB + u_CA = (5/21, −17√5/21). Масштабируем: v_C = (5, −17√5). - Прямая биссектора C: L_C: C + t v_C = (16/7, 24√5/7) + t(5, −17√5). - Точка Q — проекция точки B на L_C. Параметр t1 = v_C · (B − C) / (v_C · v_C). B − C = (−16/7, −24√5/7). v_C · (B − C) = 5(−16/7) + (−17√5)(−24√5/7) = −80/7 + (17·24·5)/7 = −80/7 + 2040/7 = 1960/7 = 280. v_C · v_C = 5^2 + (−17√5)^2 = 25 + 289·5 = 1470. t1 = 280/1470 = 4/21. - Тогда Q = C + (4/21)v_C = (16/7, 24√5/7) + (4/21)(5, −17√5) = x: 16/7 + 20/21 = 68/21, y: 24√5/7 − 68√5/21 = 4√5/21. So Q = (68/21, 4√5/21). 4) Длина PQ - P = (5/3, 4√5/3) = (35/21, 28√5/21). Q = (68/21, 4√5/21). - Вектор PQ = Q − P = (68/21 − 35/21, (4√5/21 − 28√5/21)) = (33/21, −24√5/21). - Длина PQ = sqrt[(33/21)^2 + (24√5/21)^2] = (1/21) sqrt(33^2 + (24^2)·5) = (1/21) sqrt(1089 + 576·5) = (1/21) sqrt(1089 + 2880) = (1/21) sqrt(3969) = 63/21 = 3. Ответ: PQ = 3.