В прямоугольном треугольнике ABC внеш ний угол при вершине A равен 150°. Катет BC=32 Найдите длину гипотенузы AB

Решение:

Дано: прямоугольный треугольник ABC, внешний угол при вершине A равен 150°, катет BC = 32, ищем гипотенузу AB.

1. Внешний угол при A равен 150° ⇒ внутренний угол при A равен 180° − 150° = 30°.

2. Так как AB — гипотенуза (по условию найти её), угол C равен 90°, а B — 60°. Значит треугольник ABC — это прямоугольный треугольник с углами 30°−60°−90°.

3. В таком треугольнике отношение сторон по порядку: короткий катет (против 30°) : длинный катет (против 60°) : гипотенуза = 1 : √3 : 2. Короткий катет — это сторона BC, так как она против угла A = 30°.

4. Так как BC = 32 и BC соответствует короткому катету, гипотенуза AB соответствует числу 2 по отношению, значит AB = 2 · BC = 2 · 32 = 64.

Ответ: AB = 64. (Проверка: длинный катет AC = √(AB^2 − BC^2) = √(64^2 − 32^2) = √(4096 − 1024) = √3072 = 32√3, что даёт углы 30°, 60°, 90°.)