Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту α=30∘. Масса бруска m=1 кг. В момент времени t=0…
Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту α=30∘. Масса бруска m=1 кг. В момент времени t=0 с брусок отпускают и при этом к нему прикладывают силу, которая направлена вверх параллельно наклонной плоскости. Зависимость модуля силы от времени описывается формулой F=βt, где β=0.1 Н/с. Ускорение свободного падения примите равным g=10 м/с2. В какой момент времени брусок становится
Решение (общий подход подходящий для средней школы)
Дано:
- угол наклона α = 30°, sin α = 1/2
- масса m = 1 кг
- гладкая наклонная поверхность, без трения
- сила вдоль наклонной вверх задана как F(t) = β t, β = 0.1 Н/с
- ускорение свободного падения g = 10 м/с^2
Выбор оси: вдоль наклонной вверх положительно.
- Уравнение движения вдоль наклонной Сумма действующих сил вдоль наклонной: F(t) - m g sin α = m a(t)
Отсюда a(t) = [F(t) - m g sin α] / m = (β t - m g sin α) / m
Так как m = 1 и sin α = 1/2, получаем: mg sin α = 1 × 10 × 1/2 = 5 Н a(t) = β t - g sin α = 0.1 t - 5
- Моменты, которые могут быть интересны
В какой момент ускорение становится равно нулю? a(t) = 0 при t = t_a0 = (g sin α) / β = 5 / 0.1 = 50 c.
Какова скорость v(t) после выпуска? Начальная скорость v(0) = 0. Интегрируем a(t): v(t) = ∫0^t a(τ) dτ = ∫0^t (0.1 τ - 5) dτ = 0.05 t^2 - 5 t
В какие моменты скорость становится равной нулю? v(t) = 0 даёт t(0.05 t - 5) = 0 → t = 0 или t = 100 с.
В какой момент движение блока меняет направление? Движение меняет направление в момент, когда скорость проходит через ноль, т.е. в t = 100 с. До t = 100 с скорость отрицательная (медленно движется вниз по наклонной), после t = 100 с — положительная (движется вверх).
- Проконтроль значений
- mg sin α = 5 Н
- a(t) = 0.1 t - 5
- t_a0 = 50 с — момент, когда ускорение становится нулём
- v(t) = 0 → t = 0 с (начало) и t = 100 с (момент разворота)
- Прогресс движения можно привести также через пройденный путь: s(t) = ∫0^t v(τ) dτ = ∫0^t (0.05 τ^2 - 5 τ) dτ = (1/60) t^3 - (5/2) t^2 Например, s(50) ≈ -4166.7 м (значение показывает огромное пройденное вдоль наклона расстояние за счёт данных чисел; на практике такие длинные наклоны не реализуются, но в задаче это допустимо).
Ответы на возможные формулировки вопроса
- Если спрашивают, когда ускорение становится равным нулю: t = 50 с.
- Если спрашивают, когда брусок становится неподвижным (м моментально после начала движения и затем снова): t = 0 с и t = 100 с.
- Если спрашивают, когда мгновенно блок перестаёт двигаться в обратном направлении: тоже t = 100 с (скорость нулевая в этот момент).
Если ваша задача формулируется иначе (например, найти момент, когда движение становится равномерным на протяжении какого-то периода, или найти момент, когда «брусок прекращает двигаться», и т. п.), скажите точную формулировку и я адаптирую решение.
