Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту α=20∘. Масса бруска m=3 кг. В момент времени t=0…

Цель: понять движение бруска по гладкой наклонной плоскости при приложении возрастающей по времени силы вдоль наклонной.

Дано:

• угол наклона α = 20°
• масса бруска m = 3 кг
• сила вдоль наклонной F(t) = β t, где β = 0.3 Н/с
• g = 10 м/с^2
• поверхность — гладкая (без трения)
• в момент t = 0 брусок отпускают, скорости начальная v(0) = 0, положение x(0) = 0

1. Выбор направления Положим положительным направление вверх по наклонной плоскости.

2. Сила вдоль наклонной плоскости

• Сила, толкающая вверх: F(t) = β t
• Компонента силы тяжести вдоль наклонной вниз: m g sin α
• Сумма сил вдоль наклонной: ΣF = β t - m g sin α

3. Уравнение движения По второму закону Ньютона вдоль наклонной: m a(t) = ΣF = β t - m g sin α следовательно a(t) = d^2x/dt^2 = (β/m) t - g sin α

Числа:

• sin α ≈ sin 20° ≈ 0.3420
• g sin α ≈ 10 × 0.3420 ≈ 3.420 м/с^2
• β/m = 0.3 / 3 = 0.1 1/s

Итак, a(t) = 0.1 t - 3.420 м/с^2

4. Интегрирование для скорости и уточнение начальных условий

• Скорость: v(t) = ∫ a(t) dt = (β/(2m)) t^2 - (g sin α) t + v(0)

С учётом v(0) = 0: v(t) = (β/(2m)) t^2 - (g sin α) t = 0.05 t^2 - 3.420 t (м/с)

• Положение: x(t) = ∫ v(t) dt = (β/(6m)) t^3 - (g sin α) (t^2)/2 + x(0)

С учётом x(0) = 0: x(t) = (β/(6m)) t^3 - (g sin α)/2 · t^2 = 0.0166667 t^3 - 1.71 t^2 (м)

5. Ключевые моменты движения

• Ускорение нулевое при a(t) = 0: 0.1 t - 3.420 = 0 → t0 = 3.420 / 0.1 ≈ 34.2 с До t0 ускорение отрицательное, т.е. блок движется вниз по наклонной (вниз вдоль плоскости).

• Скорость обращается в ноль повторно при v(t) = 0 (кроме t = 0): 0.05 t^2 - 3.420 t = t(0.05 t - 3.420) = 0 t = 0 или 0.05 t - 3.420 = 0 → t1 = 3.420 / 0.05 = 68.4 с

• Это значит, что до t ≈ 68.4 с брусок движется вниз, затем, когда сила вверх превысит гравитационную составляющую и ускорение станет положительным, скорость снова возрастает, и в момент t ≈ 68.4 с скорость становится нулём и далее брусок начнет подниматься вверх по наклонной.

6. Примерные числовые значения на конкретных моментах

• При t = 10 с: a(10) = 0.1·10 - 3.420 ≈ -2.420 м/с^2 v(10) = 0.05·100 - 3.420·10 = 5 - 34.20 ≈ -29.20 м/с x(10) = 0.0166667·1000 - 1.71·100 ≈ 16.67 - 171 ≈ -154.3 м (- означает движение вниз по наклонной)

• При t = 34.2 c (момент, когда F(t) = m g sin α): F(t) = β t = β·t ≈ 0.3·34.2 ≈ 10.26 Н = m g sin α a(34.2) ≈ 0 (переход от ускорения отрицательного к положительному)

• При t = 68.4 c (скорость обращается в ноль): v(68.4) ≈ 0

7. Резюмирующая формула

• a(t) = (β/m) t - g sin α
• v(t) = (β/(2m)) t^2 - g sin α t
• x(t) = (β/(6m)) t^3 - (g sin α) t^2 / 2 С учётом заданных чисел:
• a(t) = 0.1 t - 3.42
• v(t) = 0.05 t^2 - 3.42 t
• x(t) = 0.0166667 t^3 - 1.71 t^2

Таким образом, движение бруска описывается этими выражениями. Брусок сначала движется вниз вдоль наклонной, затем после момента примерно t ≈ 34.2 с ускорение сменит знак и в конечном итоге при t ≈ 68.4 с скорость станет равной нулю и со временем начнет подниматься вверх, если продолжать действовать силой F(t).