Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту α=20∘. Масса бруска m=3 кг. В момент времени t=0 с брусок отпускают и при этом к нему прикладывают силу, которая направлена вверх параллельно наклонной плоскости. Зависимость модуля силы от времени описывается формулой F=βt, где β=0.3 Н/с. Ускорение свободного падения примите равным g=10 м/с2.

Цель: понять движение бруска по гладкой наклонной плоскости при приложении возрастающей по времени силы вдоль наклонной. Дано: - угол наклона α = 20° - масса бруска m = 3 кг - сила вдоль наклонной F(t) = β t, где β = 0.3 Н/с - g = 10 м/с^2 - поверхность — гладкая (без трения) - в момент t = 0 брусок отпускают, скорости начальная v(0) = 0, положение x(0) = 0 1) Выбор направления Положим положительным направление вверх по наклонной плоскости. 2) Сила вдоль наклонной плоскости - Сила, толкающая вверх: F(t) = β t - Компонента силы тяжести вдоль наклонной вниз: m g sin α - Сумма сил вдоль наклонной: ΣF = β t - m g sin α 3) Уравнение движения По второму закону Ньютона вдоль наклонной: m a(t) = ΣF = β t - m g sin α следовательно a(t) = d^2x/dt^2 = (β/m) t - g sin α Числа: - sin α ≈ sin 20° ≈ 0.3420 - g sin α ≈ 10 × 0.3420 ≈ 3.420 м/с^2 - β/m = 0.3 / 3 = 0.1 1/s Итак, a(t) = 0.1 t - 3.420 м/с^2 4) Интегрирование для скорости и уточнение начальных условий - Скорость: v(t) = ∫ a(t) dt = (β/(2m)) t^2 - (g sin α) t + v(0) С учётом v(0) = 0: v(t) = (β/(2m)) t^2 - (g sin α) t = 0.05 t^2 - 3.420 t (м/с) - Положение: x(t) = ∫ v(t) dt = (β/(6m)) t^3 - (g sin α) (t^2)/2 + x(0) С учётом x(0) = 0: x(t) = (β/(6m)) t^3 - (g sin α)/2 · t^2 = 0.0166667 t^3 - 1.71 t^2 (м) 5) Ключевые моменты движения - Ускорение нулевое при a(t) = 0: 0.1 t - 3.420 = 0 → t0 = 3.420 / 0.1 ≈ 34.2 с До t0 ускорение отрицательное, т.е. блок движется вниз по наклонной (вниз вдоль плоскости). - Скорость обращается в ноль повторно при v(t) = 0 (кроме t = 0): 0.05 t^2 - 3.420 t = t(0.05 t - 3.420) = 0 t = 0 или 0.05 t - 3.420 = 0 → t1 = 3.420 / 0.05 = 68.4 с - Это значит, что до t ≈ 68.4 с брусок движется вниз, затем, когда сила вверх превысит гравитационную составляющую и ускорение станет положительным, скорость снова возрастает, и в момент t ≈ 68.4 с скорость становится нулём и далее брусок начнет подниматься вверх по наклонной. 6) Примерные числовые значения на конкретных моментах - При t = 10 с: a(10) = 0.1·10 - 3.420 ≈ -2.420 м/с^2 v(10) = 0.05·100 - 3.420·10 = 5 - 34.20 ≈ -29.20 м/с x(10) = 0.0166667·1000 - 1.71·100 ≈ 16.67 - 171 ≈ -154.3 м (- означает движение вниз по наклонной) - При t = 34.2 c (момент, когда F(t) = m g sin α): F(t) = β t = β·t ≈ 0.3·34.2 ≈ 10.26 Н = m g sin α a(34.2) ≈ 0 (переход от ускорения отрицательного к положительному) - При t = 68.4 c (скорость обращается в ноль): v(68.4) ≈ 0 7) Резюмирующая формула - a(t) = (β/m) t - g sin α - v(t) = (β/(2m)) t^2 - g sin α t - x(t) = (β/(6m)) t^3 - (g sin α) t^2 / 2 С учётом заданных чисел: - a(t) = 0.1 t - 3.42 - v(t) = 0.05 t^2 - 3.42 t - x(t) = 0.0166667 t^3 - 1.71 t^2 Таким образом, движение бруска описывается этими выражениями. Брусок сначала движется вниз вдоль наклонной, затем после момента примерно t ≈ 34.2 с ускорение сменит знак и в конечном итоге при t ≈ 68.4 с скорость станет равной нулю и со временем начнет подниматься вверх, если продолжать действовать силой F(t).