Индекс задачи: прямоугольный треугольник с радиусом вписанной окружности r = 15 см и гипотенузой c = 85 см. Нужно найти периметр и площадь.
Шаг 1. Связь между сторонами и радиусом вписанной окружности в прямоугольном треугольнике
Для прямоугольного треугольника с legs a, b и гипотенузой c выполняется:
- радиус вписанной окружности r = (a + b - c)/2
- сумма сторон: P = a + b + c
- площадь: S = (a · b) / 2
Также a^2 + b^2 = c^2.
Шаг 2. Найдем сумму длин катетов
Из r = (a + b - c)/2 получаем:
a + b = c + 2r = 85 + 30 = 115.
Шаг 3. Найдем произведение катетов ab
Используем формулы:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab = c^2 + 2ab.
Тогда ab = ((a + b)^2 - (a^2 + b^2)) / 2 = (115^2 - 85^2) / 2.
Но 115^2 = 13225 и 85^2 = 7225, значит:
ab = (13225 - 7225)/2 = 6000/2 = 3000.
Шаг 4. Найдем площадь
S = ab / 2 = 3000 / 2 = 1500 см².
Шаг 5. Найдем периметр
P = a + b + c = 115 + 85 = 200 см.
Дополнительно (для полноты): можно найти сами катеты из квадратного уравнения t^2 - (a+b)t + ab = 0:
t^2 - 115t + 3000 = 0, дискриминант D = 115^2 - 4·3000 = 1225, sqrt(D) = 35.
Корни: t = (115 ± 35)/2 → t = 75 и t = 40. Значит катеты равны 75 см и 40 см, что удовлетворяет 75^2 + 40^2 = 85^2.
Ответ:
- Периметр треугольника: P = 200 см
- Площадь треугольника: S = 1500 см²
