в прямоугольный треугольник вписана окружность радиус которой равен 15 см найдите периметр и площадь треугольника если его гипотенуза равна 85 см

Индекс задачи: прямоугольный треугольник с радиусом вписанной окружности r = 15 см и гипотенузой c = 85 см. Нужно найти периметр и площадь.

Шаг 1. Связь между сторонами и радиусом вписанной окружности в прямоугольном треугольнике Для прямоугольного треугольника с legs a, b и гипотенузой c выполняется:

• радиус вписанной окружности r = (a + b - c)/2
• сумма сторон: P = a + b + c
• площадь: S = (a · b) / 2 Также a^2 + b^2 = c^2.

Шаг 2. Найдем сумму длин катетов Из r = (a + b - c)/2 получаем: a + b = c + 2r = 85 + 30 = 115.

Шаг 3. Найдем произведение катетов ab Используем формулы: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab = c^2 + 2ab. Тогда ab = ((a + b)^2 - (a^2 + b^2)) / 2 = (115^2 - 85^2) / 2.

Но 115^2 = 13225 и 85^2 = 7225, значит: ab = (13225 - 7225)/2 = 6000/2 = 3000.

Шаг 4. Найдем площадь S = ab / 2 = 3000 / 2 = 1500 см².

Шаг 5. Найдем периметр P = a + b + c = 115 + 85 = 200 см.

Дополнительно (для полноты): можно найти сами катеты из квадратного уравнения t^2 - (a+b)t + ab = 0: t^2 - 115t + 3000 = 0, дискриминант D = 115^2 - 4·3000 = 1225, sqrt(D) = 35. Корни: t = (115 ± 35)/2 → t = 75 и t = 40. Значит катеты равны 75 см и 40 см, что удовлетворяет 75^2 + 40^2 = 85^2.

Ответ:

• Периметр треугольника: P = 200 см
• Площадь треугольника: S = 1500 см²