Докажите признаки ромба параллелограмм является ромбом, если а) его диагонали взаимно перпендикулярны б) диагональ делит его угол пополам.

Задача: доказать признаки ромба для параллелограмма. Пояснения сначала для обеих частей обоснованы на свойствах параллелограмма: диагонали пересекаются в своей середине, противоположные стороны равны и параллельны. 1) а) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны Пусть ABCD — параллелограмм. Обозначим векторы AB = b и AD = d. Тогда диагонали: - AC = b + d - BD = d − b Условие перпендикулярности диагоналей: (AC) ⟂ (BD), то есть (b + d) · (d − b) = 0. Раскроем скалярное произведение: (b + d) · (d − b) = b·d − b·b + d·d − d·b = (d·d − b·b) + (b·d − d·b) = ||d||^2 − ||b||^2 так как b·d = d·b. Следовательно ||d||^2 = ||b||^2, то есть |AD| = |AB|. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC. Поэтому из AB = AD следует, что все стороны равны: AB = BC = CD = DA. Значит параллелограмм — ромб. Ответ: да, параллелограмм с взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом. 2) б) Если диагональ делит его угол пополам Пусть AC — диаго́наль параллелограмма ABCD и AC является бисектрисой угла BAD, то ∠CAB = ∠CAD. Заметим: так как AB ∥ CD и BC ∥ AD, текстовые пары углов связаны: ∠ABC = ∠CDA (углы при B и D соответствуют параллельностям). Следовательно, в треугольниках ΔABC и ΔDAC имеются два равных угла: - ∠ABC = ∠CDA - ∠CAB = ∠CAD (дано бисectrix AC) По признаку подобия AA эти треугольники подобны. Отсюда соотношения соответствующих сторон: AB/AD = BC/CD = AC/AC = 1. Следовательно AB = AD. В параллелограмме также выполняются равенства противоположных сторон: AB = CD и BC = AD. Если AB = AD, то BC = AB и CD = AB, то все стороны равны. Значит, параллелограмм — ромб. Ответ: да, если диагональ параллелограмма делит угол пополам, то параллелограмм становится ромбом. Итог: оба признака (а) перпендикулярные диагонали и (б) диагональ, делящая угол пополам, являются верными признаками ромба для параллелограмма.