докажите признаки ромба параллелограмм является ромбом, если а) его диагонали взаимно перпендикулярны б) диагональ делит его угол пополам.
Задача: доказать признаки ромба для параллелограмма.
Пояснения сначала для обеих частей обоснованы на свойствах параллелограмма: диагонали пересекаются в своей середине, противоположные стороны равны и параллельны.
- а) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны
Пусть ABCD — параллелограмм. Обозначим векторы AB = b и AD = d. Тогда диагонали:
- AC = b + d
- BD = d − b
Условие перпендикулярности диагоналей: (AC) ⟂ (BD), то есть (b + d) · (d − b) = 0. Раскроем скалярное произведение: (b + d) · (d − b) = b·d − b·b + d·d − d·b = (d·d − b·b) + (b·d − d·b) = ||d||^2 − ||b||^2 так как b·d = d·b. Следовательно ||d||^2 = ||b||^2, то есть |AD| = |AB|.
В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC. Поэтому из AB = AD следует, что все стороны равны: AB = BC = CD = DA. Значит параллелограмм — ромб.
Ответ: да, параллелограмм с взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом.
- б) Если диагональ делит его угол пополам
Пусть AC — диаго́наль параллелограмма ABCD и AC является бисектрисой угла BAD, то ∠CAB = ∠CAD.
Заметим: так как AB ∥ CD и BC ∥ AD, текстовые пары углов связаны: ∠ABC = ∠CDA (углы при B и D соответствуют параллельностям).
Следовательно, в треугольниках ΔABC и ΔDAC имеются два равных угла:
- ∠ABC = ∠CDA
- ∠CAB = ∠CAD (дано бисectrix AC)
По признаку подобия AA эти треугольники подобны. Отсюда соотношения соответствующих сторон: AB/AD = BC/CD = AC/AC = 1. Следовательно AB = AD.
В параллелограмме также выполняются равенства противоположных сторон: AB = CD и BC = AD. Если AB = AD, то BC = AB и CD = AB, то все стороны равны. Значит, параллелограмм — ромб.
Ответ: да, если диагональ параллелограмма делит угол пополам, то параллелограмм становится ромбом.
Итог: оба признака (а) перпендикулярные диагонали и (б) диагональ, делящая угол пополам, являются верными признаками ромба для параллелограмма.
