решите линейное неравенство 3х+9≥1-х
Задача: решить линейное неравенство 3x + 9 ≥ 1 − x.
Детальное решение (пошагово):
Перенесем переменную из правой части в левую (сложно не меняем знак, просто добавим x к обеим сторонам): 3x + 9 ≥ 1 − x
- x к обеим сторонам: 4x + 9 ≥ 1
Перенесем константу с левой стороны на правую: 4x + 9 ≥ 1 вычтем 9 с обеих сторон: 4x ≥ −8
Разделим обе стороны на положительное число 4 (правило: деление на положительное число не меняет знак неравенства): x ≥ −2
Ответ: x ≥ −2. Это множество всех x, большего либо равных −2.
Проверка:
- Для x = −2: левая часть 3(−2) + 9 = −6 + 9 = 3; правая часть 1 − (−2) = 3; 3 ≥ 3 верно.
- Для x = −3: левая 0, правая 4; 0 ≥ 4 — неверно.
- Для x = 0: левая 9, правая 1; 9 ≥ 1 верно.
Интервал решения: [−2; ∞). Графически это правая полупрямая на числовой оси, начиная с точки −2 включительно.
Примечание: если бы мы делили на отрицательное число, знак неравенства бы поменялся. Здесь же делили на 4 (положительное), поэтому знак остался прежним.
Обсуждение
2 сообщениярешите квадратное неравенство х²-х-12>0 с параболой
Решим квадратное неравенство \( x^2 - x - 12 > 0 \) с помощью анализа параболы.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
\( x^2 - x - 12 = 0 \).
Используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1, b = -1, c = -12 \).
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 7}{2} \]
Таким образом, получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Построим график параболы:
Парабола имеет вид \( y = x^2 - x - 12 \) и открывается вверх (коэффициент при \( x^2 \) положителен).
Определим интервалы:
Мы знаем, что корни находятся в точках \( x = -3 \) и \( x = 4 \). Теперь определим знаки функции на интервалах:
- Интервал 1: \( (-\infty, -3) \)
- Интервал 2: \( (-3, 4) \)
- Интервал 3: \( (4, +\infty) \)
Проверим знаки на каждом интервале:
- Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \[ y = (-4)^2 - (-4) - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 > 0 \]
- Для \( -3 < x < 4 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y = 0^2 - 0 - 12 = -12 < 0 \]
- Для \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \[ y = 5^2 - 5 - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 > 0 \]
Запишем итоговое решение:
Квадратное неравенство \( x^2 - x - 12 > 0 \) выполняется на интервалах:
\[ (-\infty, -3) \cup (4, +\infty) \]
Таким образом, ответ: \( x \in (-\infty, -3) \cup (4, +\infty) \).
