Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 см и 4 см. Найдите меньшее основание трапеции.

Разберём задачу пошагово.

1. Обозначения и геометрия

• Пусть длинное основание трапеции AB = a, короткое основание CD = b (a > b).
• Так как трапеция равнобедренная, ось симметрии проходит через середины оснований. Пусть высота трапеции равна h.
• Координаты можно представить так: A(0,0), B(a,0). Верхнее основание CD находится на высоте h и имеет длину b, центрированное относительно AB. Тогда точки D и C имеют координаты D((a−b)/2, h) и C((a−b)/2 + b, h).
• Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание AB, падает либо из вершины D, либо из вершины C на AB.

2. Где пересечение с AB

• Пересечение перпендикуляра от D на AB будет в точке x = (a−b)/2, то есть от A отходит отрезок длины t1 = (a−b)/2.
• Пересечение перпендикуляра от C на AB будет в точке x = (a−b)/2 + b = (a+b)/2, то есть от A отходит отрезок длины t2 = (a+b)/2.

3. Данные задачи

• Перпендикуляр делит AB на части длиной 10 см и 4 см. Следовательно, суммарная длина AB равна a = 10 + 4 = 14 см.

4. Поиск короткого основания b

• Рассмотрим оба варианта:

Вариант 1. Перпендикуляр опущен из вершины D.

• Тогда t1 = (a−b)/2 должно быть либо 4, либо 10.
• Подставим a = 14: (14 − b)/2 = 4 даёт 14 − b = 8 → b = 6. (Другой вариант (14 − b)/2 = 10 даёт b = −6, что невозможно.)

Вариант 2. Перпендикуляр опущен из вершины C.

• Тогда t2 = (a+b)/2 должно быть либо 4, либо 10.
• Подставим a = 14: (14 + b)/2 = 10 даёт 14 + b = 20 → b = 6. (Другой вариант (14 + b)/2 = 4 даёт b = −6, невозможно.)

Оба варианта дают единственное допустимое значение короткого основания: b = 6 см.

Ответ: меньшее основание трапеции равно 6 см.