как измениться поверхность и объем куба, если его ребро увеличить в 2 раза;в 3 раза; в n раз

Задача: куб с исходным ребром a; новое ребро ka (k — множитель). Найдём как изменятся поверхность S и объём V.

Порядок решения:

• Начальные формулы для куба:
  • Поверхность: S = 6a^2
  • Объём: V = a^3
• После увеличения ребра в k раз новое ребро: a' = k a

Изменение площади:

• Новая площадь: S' = 6 (a')^2 = 6 (k a)^2 = 6 k^2 a^2 = k^2 · (6a^2) = k^2 S
• Значит площадь умножается на k^2.

Изменение объёма:

• Новый объём: V' = (a')^3 = (k a)^3 = k^3 a^3 = k^3 · V
• Значит объём умножается на k^3.

Примеры:

• Если увеличить ребро в 2 раза (k = 2):
  • S' = 2^2 · S = 4S
  • V' = 2^3 · V = 8V
• Если увеличить ребро в 3 раза (k = 3):
  • S' = 3^2 · S = 9S
  • V' = 3^3 · V = 27V

Обобщение для любого n:

• При увеличении ребра в n раз:
  • S' = n^2 S
  • V' = n^3 V

Кратко: при масштабировании размерности куба в фактор k площадь растёт в квадрате этого фактора, объём — в кубе этого фактора.