реши задачу Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Задача: две стороны треугольника равны 10 и 12, медиана, проведённая к третьей стороне, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Решение

1. Обозначим стороны треугольника как a = 10, b = 12, противолежащую медиану к стороне c. Медиана к стороне c имеет длину m_c = 5. Формула длины медианы к стороне c: m_c^2 = (2a^2 + 2b^2 - c^2) / 4.

   Подставим известные значения и найдём c: 25 = (2·10^2 + 2·12^2 - c^2) / 4 100 = 2·100 + 2·144 - c^2 100 = 200 + 288 - c^2 c^2 = 488 - 100 = 388.

   Значит c = sqrt(388) = 2√97.

2. Теперь найдём площадь треугольника с помощью формулы Герона. Полупериметр: s = (a + b + c) / 2 = (10 + 12 + 2√97) / 2 = 11 + √97.

   Члены под знаком Герона: s - a = (11 + √97) - 10 = 1 + √97, s - b = (11 + √97) - 12 = -1 + √97, s - c = (11 + √97) - 2√97 = 11 - √97.

   Площадь квадрат равна: Δ^2 = s(s - a)(s - b)(s - c) = (11 + √97)(1 + √97)(-1 + √97)(11 - √97). Упростим пару скобок: (11 + √97)(11 - √97) = 121 - 97 = 24, (1 + √97)(-1 + √97) = (√97)^2 - 1 = 97 - 1 = 96.

   Значит Δ^2 = 24 · 96 = 2304, и Δ = √2304 = 48.

Ответ: площадь треугольника равна 48 квадратных единиц.