Карандаш массой m упирается своим острым концом в плоскость, наклонённую к горизонту под углом a. В этом положении карандаш удерживается с помощью нити, привязанной к его верхнему…

Ниже подробное решение с пояснениями для физики 11 класса (Цель: понять).

Исходные данные и геометрия

• Плоскость наклонена под углом a к горизонту.
• Острый кончик карандаша лежит на плоскости; верхний конец прикреплён к нити, которая лежит параллельно наклонной плоскости.
• Ось симметрии карандаша перпендикулярна плоскости (то есть карандаш работает как жесткий стержень, пронзающий плоскость перпендикулярно ей).
• Сила трения действует в месте контакта карандаша с плоскостью; сила реакции нормальной – тоже в месте контакта.
• Коэффициент трения μ таков, что карандаш не проскальзывает при увеличении угла a до 60°.
• Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Обозначения:

• m – масса карандаша.
• N – нормальная реакция от плоскости.
• F – сила трения, действующая на карандаш вдоль плоскости (ее направление — против возможного скольжения).
• T – натяжение нити, действует вдоль плоскости, на верхний конец карандаша.
• W = mg – сила тяжести, действует вниз через центр масс (посередине карандаша).

1. Равновесие по моментам (торкоры) взятие относительно точки контакта карандаша с плоскостью

• Вектор r до верхнего конца карандаша от точки контакта лежит вдоль нормали к плоскости; его длина L.
• Вектор r до центра масс от точки контакта тоже вдоль нормали; длина L/2.
• Моменты от силы тяжести и от натяжения нити имеют отношение:
  • момент от натяжения T: вращающий момент равен L · T (причём угол между r и F равен 90°, т. е. sin 90° = 1).
  • момент от тяжести: (L/2) · mg · sin a (угол между нормалью и направлением тяжести равен a).
• В состоянии равновесия сумма моментов равна нулю: L T = (L/2) mg sin a Откуда T = (mg/2) sin a.

Важно: момент от силы трения и от нормальной реакции в точке контакта равен нулю, поэтому они не участвуют в этом уравнении.

2. Равновесие по направлениям, паранормально и вдоль плоскости

• По направлению нормали к плоскости: N = mg cos a. (Сила натяжения T параллельна плоскости, поэтому на нормаль влияет только вес.)
• По направлению вдоль плоскости: сумма сил вдоль плоскости ноль: T + F − mg sin a = 0, где F — сила трения (модуль F и направление определяются для противодействия возможному скольжению). Поскольку mg sin a стремится двигать карандаш вниз по плоскости, а натяжение T направлено вверх по плоскости, характерное равновесие даёт: F = mg sin a − T. Подставляя найденное T = (mg/2) sin a, получаем: F = mg sin a − (mg/2) sin a = (mg/2) sin a. Значит модуль трения равен T, и направление трения — в течение всего диапазона 0 ≤ a ≤ 60° направлено вверх по плоскости (то же направление, что и T).

Итого:

• Напряжение нити: T(a) = (m g / 2) sin a.
• Нормальная реакция: N(a) = m g cos a.
• Сила трения: F(a) = (m g / 2) sin a, направление вдоль плоскости вверх (одинакова с направлением T).

3. Условие без проскальзывания (ограничение Фрик. силы) Для отсутствия проскальзывания необходима неравенство: F ≤ μ N Подставляем выражения: (m g / 2) sin a ≤ μ (m g cos a) tan a ≤ 2 μ.

Таким образом, предел угла без проскальзывания для данного μ задаётся как a_max = arctan(2 μ). Если a ≤ a_max, карандаш не проскальзывает. В задаче сказано, что μ достаточен, чтобы до 60° карандаш не проскальзывал, что требует μ ≥ tan(60°)/2 ≈ 1.732/2 ≈ 0.866.

4. Числовые формы с заданным g = 10 м/с² Подставим g = 10:

• T(a) = (m · 10 / 2) sin a = 5 m sin a (Н).
• N(a) = m · 10 cos a = 10 m cos a (Н).
• F(a) = 5 m sin a (Н), направление вверх по плоскости.

5. Как изменяются с углом a (0° → 60°)

• Tension T: пропорциональна sin a, возрастает от 0° до 60°: T(0°) = 0, T(60°) = 5 m · sin 60° = 5 m · (√3/2) = (5√3/2) m ≈ 4.33 m Н.
• Нормальная N: уменьшается от mg до mg cos 60°: N(0°) = mg = 10 m Н, N(60°) = 10 m · cos 60° = 5 m Н.
• Сила трения F: также пропорциональна sin a и равна T: F(0°) = 0, F(60°) ≈ 4.33 m Н.
• Направление: трение и натяжение всегда действуют вверх вдоль плоскости (одинаковое направление), чтобы противодействовать гравитационной компоненте mg sin a, которая тянет карандаш вниз по плоскости.

6. Примечание по условию без проскальзывания Для данного μ карандаш не проскальзывает на всём интервале 0°–60°, если выполняется tan a ≤ 2 μ для всех a в этом диапазоне. На 60° этот критерий требует μ ≥ 0.866, как указано выше.

Коротко резюмирую вывод

• T(a) = (m g / 2) sin a = 5 m sin a (при g = 10).
• N(a) = m g cos a = 10 m cos a (при g = 10).
• F(a) = (m g / 2) sin a = 5 m sin a, направлена вверх по плоскости.
• Условие без проскальзывания: tan a ≤ 2 μ; для 0° ≤ a ≤ 60° это требует μ ≥ 0.866.

Если хотите, могу привести числовые значения для конкретных углов (например 0°, 30°, 60°) или построить графики зависимостей T(a), N(a) и F(a) на диапазоне 0°–60°.