Известно, что порядок числа а равен 25.Найдите порядок числа 0,00001 × а

Имеется условие: порядок числа a равен 25 в некоторой группе умножения (обычно в группе комплексных чисел, не равных нулю). Значит a^25 = 1 и для m < 25 a^m ≠ 1. В частности, из этого следует, что модуль a равен 1: |a|^25 = |a^25| = 1, значит |a| = 1.

Задача: найти порядок числа b = 0,00001 × a = 10^(-5) · a.

Пусть предположим, что у b есть конечный порядок t. Тогда b^t = 1, то есть (10^(-5) a)^t = 1. Это эквивалентно a^t = 10^{5t}.

Возьмём модули у обеих сторон: |a^t| = |a|^t = 1^t = 1, а слева по равенству должно быть равно |10^{5t}| = 10^{5t}.

Но 10^{5t} > 1 при любом t > 0. Противоречие. Значит для никакого положительного t конечного порядка не существует.

Следовательно, порядок числа b не является конечным; он бесконечен (infinite order).

Иными словами: любые элементы в группе не нуль-мерности с модулем, отличным от 1, не имеют конечного порядка. Так как |b| = |10^(-5)·a| = 10^(-5) ≠ 1, порядок b бесконечен.