. Приложение 1 Начинающий уровень Какую геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей? Приведите примеры. 2 Докажите, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 2)6--1 6 -2 0) 6, = 4; 6, =2; 1 в) 0, = -1; b, = 2 T) 6, = -4; 0, =2.

Коротко по делу и по существу — на экзамене это обычно так: 1) Что такое бесконечно убывающая геометрическая прогрессия? - Геометрическая пр­­огрессия определяется первым членом a1 и знаменателем q: a_n = a1 · q^(n-1). - Прогрессия называется бесконечно убывающей (обычно: стремящейся к нулю) тогда, когда модуль знаменателя |q| меньше 1. В этом случае члены стремятся к 0: a_n → 0 при n → ∞. - Примеры: - 6, 3, 1.5, 0.75, 0.375, ... (q = 1/2, все положительные, монотонно убывающие по модулю). - 7, -3.5, 1.75, -0.875, 0.4375, ... (q = -1/2, знаки чередуются, модули уменьшаются, стремятся к 0). - 8, 8/3, 8/9, 8/27, ... (q = 1/3). - Важное замечание: если q ≤ -1 или q ≥ 1 и a1 ≠ 0, то члены прогрессии не стремятся к 0, значит она не бесконечно убывающая. Есть оксюмарт: если a1 = 0, то вся прогрессия нулевая и тоже «бесконечно убывающая» по тривиальному определению. 2) Доказательство, что геометрическая прогрессия с |q|<1 бесконечно убывающая - Пусть a_n = a1 · q^(n-1) и |q|<1. - Тогда модуль n-го члена: |a_n| = |a1| · |q|^(n-1) → 0, поскольку |q|^(n-1) → 0 при n → ∞. - Следовательно a_n → 0. Это и есть искомое «бесконечно убывающая» — члены стремятся к нулю. - Обратное замечание: если |q|≥1 и a1 ≠ 0, то a_n не будет стремиться к нулю, значит прогрессия не бесконечно убывающая (за исключением тривиального случая a1 = 0, когда вся последовательность нулевая). 3) Как проверить данные примеры в задании Ниже даны правила и пример анализа. Если вы пришлёте текст с корректными индексами и числами (без опечаток), смогу дать точные ответы по каждому пункту. - Как проверить, что заданная последовательность является геометрической прогрессией: - Возьмите первые два члена: q = a2 / a1 (при условии a1 ≠ 0). - Проверьте, что a3 / a2 равно тому же q. Если да, то это GP с знаменателем q. - Далее, если |q| < 1, она бесконечно убывающая; если |q| ≥ 1 и a1 ≠ 0 — не бесконечно убывающая. Если a1 = 0, то всё нули и отдельно обсудить несложно. - Пример с вашими данными (если интерпретировать как: a0 = 6, a1 = 4, a2 = 2): - q1 = a1 / a0 = 4/6 = 2/3. - q2 = a2 / a1 = 2/4 = 1/2. - Так как q1 ≠ q2, это не геометрическая прогрессия вообще, значит она не бесконечно убывающая. - Другие элементы вида (пример гипотетически, чтобы увидеть идею): - a0 = 6, a1 = -3, a2 = 1.5: q = a1/a0 = -1/2; проверяем a2/a1 = -3/2? Нет, это не GP, поэтому не бесконечно убывающая как GP. - Если же a1 = 6, a2 = 3, a3 = 1.5: q = 0.5 и все последующие члены дают a_n → 0, значит бесконечно убывающая. Важно: в вашем сообщении вижу фрагменты вроде “0) 6, = 4; 6, =2;” и “в) 0, = -1; b, = 2” и т. п. Форматирования и subscripts потерялись, поэтому не могу точно разобрать, какие именно члены заданы. Пожалуйста, пришлите текст заново в более точной форме (например: a0 = 6, a1 = 4, a2 = 2; или: a1 = -1, a2 = 2; и т. д.). Я быстро дам конкретные ответы по каждому пункту. Итого - Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия = геометрическая прогрессия с |q| < 1; эквивалентно тому, что a_n → 0. - Доказательство: для a_n = a1 · q^(n-1) имеем |a_n| = |a1| · |q|^(n-1) → 0, если |q|<1. - Практика: чтобы проверить данные примеры, вычислите q по первым парам и проверьте, одинаковы ли отношения a_{k+1}/a_k; затем оцените модуль q. Готов помочь с конкретными пунктами, если вы пришлёте точный набор чисел в корректном виде.