Задача 3. На ребре АА1 прямоугольного параллелепи- педа ABCDA1B1C1D1 взята точка Р так, что AP = 3. PA1. а) Составьте уравнение плоскости а, проходящей че- рез точки P, B и D1, если AB=AA1=4 см, AD=3 см; б) найдите угол между диагональю АС1 и плоскостью а; в) найдите расстояние от середины диагонали АС1 до плоскости а; г) найдите расстояние от точки D до плоскости а.

Даны ребро AA1 параллелепипеда с размерностями AB = AA1 = 4 см, AD = 3 см. Точка P лежит на ребре AA1 так, что AP = 3 см, значит PA1 = AA1 − AP = 1 см. Установим координаты: - A = (0, 0, 0) - B = (4, 0, 0) - D = (0, 3, 0) - A1 = (0, 0, 4) - D1 = (0, 3, 4) - C1 = (4, 3, 4) - P = (0, 0, 3) Задача a) найти уравнение плоскости α, проходящей через P, B и D1. 1) Векторы PD1 и PB: - PD1 = D1 − P = (0, 3, 4) − (0, 0, 3) = (0, 3, 1) - PB = B − P = (4, 0, 0) − (0, 0, 3) = (4, 0, −3) 2) Нормаль к плоскости α получается как векторное произведение этих двух векторов: n = PB × PD1 = |i j k; 4 0 −3; 0 3 1| = (9, −4, 12) 3) Уравнение плоскости через точку P с нормалью n: 9(x − 0) − 4(y − 0) + 12(z − 3) = 0 9x − 4y + 12z − 36 = 0 Или в виде 9x − 4y + 12z = 36. Проверка: под B(4,0,0) даёт 9·4 = 36, верно; под D1(0,3,4) даёт −4·3 + 12·4 = −12 + 48 = 36, верно. Значит уравнение правильно. Ответа a): плоскость α имеет уравнение 9x − 4y + 12z = 36. Задача b) найти угол между диагональю AC1 и плоскостью α. 4) Вектор диагонали AC1: v = C1 − A = (4, 3, 4). 5) Нормаль плоскости α: n = (9, −4, 12). Угол γ между вектором v и нормалью n определяется как cos γ = |v · n| / (|v|·|n|). Однако угол между линией (направлением v) и плоскостью α равен θ, который удовлетворяет θ = 90° − γ, или sin θ = cos γ. Вычислим: - v · n = 4·9 + 3·(−4) + 4·12 = 36 − 12 + 48 = 72 - |v| = √(4^2 + 3^2 + 4^2) = √41 - |n| = √(9^2 + (−4)^2 + 12^2) = √241 Тогда sin θ = cos γ = |v · n| / (|v|·|n|) = 72 / √(41·241) = 72 / √9881. Следовательно θ = arcsin(72 / √9881) ≈ 46.4°. Ответа b): угол между AC1 и плоскостью α приблизительно 46,4°. Задача c) найти расстояние от середины диагонали AC1 до плоскости α. 6) Середина диагонали AC1: A = (0,0,0), C1 = (4,3,4) ⇒ M = ((0+4)/2, (0+3)/2, (0+4)/2) = (2, 1.5, 2). Расстояние от точки M до плоскости α по формуле расстояния до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: d = |A x0 + B y0 + C z0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2). Плоскость α в виде 9x − 4y + 12z − 36 = 0, поэтому D = −36, A = 9, B = −4, C = 12. Подставим M: 9·2 − 4·1.5 + 12·2 − 36 = 18 − 6 + 24 − 36 = 0. Следовательно, d = |0| / √(9^2 + (−4)^2 + 12^2) = 0. Ответ c): расстояние равно 0 см. Средина диагонали AC1 лежит на плоскости α. Задача d) найти расстояние от точки D до плоскости α. 7) D = (0, 3, 0). Подставим в формулу расстояния: d = |9·0 − 4·3 + 12·0 − 36| / √(9^2 + (−4)^2 + 12^2) = |−12 − 36| / √241 = |−48| / √241 = 48 / √241. Численно: √241 ≈ 15.524, поэтому d ≈ 48 / 15.524 ≈ 3.09 см. Ответ d): расстояние от D до плоскости α примерно 3.09 см. Итоги: - a) Уравнение плоскости α: 9x − 4y + 12z = 36. - b) Угол между AC1 и α: ≈ 46,4°. - c) Расстояние от середины AC1 до α: 0 см (середина лежит на плоскости). - d) Расстояние от D до α: ≈ 3.09 см.