Петя и Вася по очереди прибавляют любое число от 1 до 7 к сумме названных ранее чисел. Вначале сумма 0. Начинает Петя. Выигрывает тот, кто назовёт 100. Кто выигрывает при…

Ответ: Петя выигрывает при правильной игре.

Пояснение пошагово

• Пусть максимальное прибавляемое число равно m = 7, значит за ход можно увеличить сумму на любое число от 1 до 7.
• В таких играх выгодно держать сумму на позициях, которые образуют цикл величиной m+1 = 8. Если на твоем ходе сумма достигает позиции, которая равна r по модулю 8, то можно продолжать двигаться к следующей цели.
• Здесь N = 100. Вычислим N mod (m+1): 100 mod 8 = 4. Это не ноль, значит первая сторона (Петя) имеет выигрышную стратегию: начать со значения r = 4 и затем поддерживать invariant: после каждого хода Пети сумма равна 4 mod 8, повторяя 4, 12, 20, …, 100.

Как действует стратегия

• Первый ход Петя: назови 4. Сумма становится 4.
• Пусть Вася на следующем ходу назовет x ∈ {1,2,3,4,5,6,7}. Тогда сумма станет 4 + x.
• Петя отвечает числом 8 − x, чтобы сумма снова стала следующей целью: 12.
• Так далее: после каждого хода Пети сумма будет равна 4 + 8k для некоторого k. Конечная цель 100 соответствует k = 12, ведь 4 + 12·8 = 100.

Итоговая последовательность сумм после ходов Пети: 4, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84, 92, 100.

Как видим, Петя сможет довести сумму до 100 на своем очередном ходе, независимо от выбора Вася.

Кратко: выигрышная стратегия Пети основана на попадании в остаток 4 по модулю 8 и ответе 8 − x на каждое ухождение Васи, что целенаправленно ведет к 100.