Дан куб KLMNPRST. a) Установите взаимное расположение прямых NP и МT 6) Найдите угол между прямыми MS и LP

Условие: рассматриваем куб KLMNPRST. Примем стандартную раскладку вершин: нижний квадрат K(0,0,0) - L(1,0,0) - M(1,1,0) - N(0,1,0), верхний квадрат над ними P(0,0,1) - R(1,0,1) - S(1,1,1) - T(0,1,1). Тогда пары соответствуют K–P, L–R, M–S, N–T. а) Взаимное расположение прямых NP и MT - Направляющие векторы: - NP: v_NP = P − N = (0,0,1) − (0,1,0) = (0,−1,1). - MT: v_MT = T − M = (0,1,1) − (1,1,0) = (−1,0,1). - Прямые параллельны? Нет, так как v_NP не пропорционален v_MT. - Пересекаются ли? Найдем точки на NP и MT: - NP: N + s v_NP = (0,1,0) + s(0,−1,1) = (0, 1−s, s). - MT: M + t v_MT = (1,1,0) + t(−1,0,1) = (1−t, 1, t). - Равенство координат дает системы: 0 = 1 − t ⇒ t = 1; 1 − s = 1 ⇒ s = 0; s = t ⇒ 0 = 1, противоречие. - Вывод: прямые NP и MT не пересекаются и не параллельны — они скрещенные (скрещенные/скейв). Ответ: NP и MT — скрещенные (скейв), то есть взаимно расположены как скрещенные прямые. б) Найдите угол между прямыми MS и LP - Направляющие векторы: - MS: S − M = (1,1,1) − (1,1,0) = (0,0,1). - LP: P − L = (0,0,1) − (1,0,0) = (−1,0,1). - Косинус угла между двумя линиями по векторам направляющим: cos θ = |MS · LP| / (|MS| |LP|) = (0·−1 + 0·0 + 1·1) / (√(0^2+0^2+1^2) · √((−1)^2+0^2+1^2)) = 1 / (1 · √2) = 1/√2. - θ = arccos(1/√2) = 45°. Итог: - NP и MT — скрещенные прямые (не пересекаются и не параллельны). - Угол между MS и LP равен 45°.