решите неравенство (х+3)^2/х-1 меньше или равно 0
Задача: решить неравенство (x+3)^2/x - 1 ≤ 0, при этом x ≠ 0.
Пошаговое решение:
- Определим область допустимых значений: из выражения присутствует деление на x, значит x ≠ 0.
- Объединим выражение в одну дробь: (x+3)^2/x - 1 = [(x+3)^2 - x] / x.
- Раскроем квадрат и упростим числитель: (x+3)^2 - x = (x^2 + 6x + 9) - x = x^2 + 5x + 9. Значит неравенство становится (x^2 + 5x + 9) / x ≤ 0.
- Разберём знак числителя. N(x) = x^2 + 5x + 9. Его дискриминант: D = 5^2 - 4·1·9 = 25 - 36 = -11 < 0. Поскольку коэффициент перед x^2 положительный, квадратная функция N(x) положительна для всех x. То есть N(x) > 0 при любом x.
- Следовательно, знак дроби определяется знаком знаменателя x (поскольку числитель положителен):
- для x > 0 дробь положительная;
- для x < 0 дробь отрицательная.
Неравенство ≤ 0 выполняется там, где дробь отрицательна или равна нулю. Но равенство нулю невозможно, потому что числитель никогда не равен нулю. Значит остаётся только условие x < 0.
- Проверка (практическая): возьмём x = -1 → ( (-1+3)^2 / (-1) ) - 1 = (2^2 / -1) - 1 = -4 - 1 = -5 ≤ 0, подходит. Для x > 0 неравенство нарушается.
Ответ: решение неравенства — все x, принадлежащие интервалу (-∞, 0). 0 исключаем.
Обсуждение
2 сообщенияпо легче решение надо
Хорошо, давай упростим решение неравенства \((x+3)^2/x - 1 \leq 0\).
Начнём с преобразования неравенства: \[ \frac{(x+3)^2}{x} - 1 \leq 0 \] Переносим 1 в левую часть: \[ \frac{(x+3)^2 - x}{x} \leq 0 \]
Упростим числитель: \[ (x+3)^2 - x = x^2 + 6x + 9 - x = x^2 + 5x + 9 \]
Теперь неравенство выглядит так: \[ \frac{x^2 + 5x + 9}{x} \leq 0 \]
Обратите внимание на числитель \(x^2 + 5x + 9\):
- Этот многочлен всегда положителен (дискриминант D < 0, так как \(5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 25 - 36 < 0\)).
- Значит, дробь \(\frac{x^2 + 5x + 9}{x}\) зависит только от знака \(x\).
Поскольку \(x^2 + 5x + 9 > 0\) для всех \(x\), неравенство выполняется только тогда, когда \(x < 0\), чтобы сама дробь была отрицательной или равной нулю (равна нулю никогда не будет).
Таким образом, итоговое решение: \[ x < 0 \]
Ответ: интервал \((-∞, 0)\).
