Найдите значение выражения log_(sqrt(2) + 1)(3 + 2sqrt(2)) - log_(1/3)(root(81, 5))

Решение:

Задача: log_(√2+1)(3+2√2) - log_(1/3)(√[5]{81})

1. Первая дробь notice that (√2 + 1)^2 = 2 + 1 + 2√2 = 3 + 2√2. Значит log_(√2+1)(3+2√2) = log_(√2+1)((√2+1)^2) = 2.

2. Вторая дробь

• 81 = 3^4, значит √[5]{81} = 81^(1/5) = (3^4)^(1/5) = 3^(4/5).
• Используем свойство логарифмов: log_a(b^c) = c log_a(b). log_(1/3)(3^(4/5)) = (4/5) log_(1/3)(3).
• Найдем log_(1/3)(3): это число y такое, что (1/3)^y = 3. Тогда y = -1. Следовательно log_(1/3)(3^(4/5)) = (4/5) * (-1) = -4/5.

3. Итог log_(√2+1)(3+2√2) - log_(1/3)(√[5]{81}) = 2 - (-4/5) = 2 + 4/5 = 14/5.

Ответ: 14/5 (или 2.8).