2. К стене на нити подвешена линейка длиной 25 см. Под линейкой в стене имеется маленькое отверстие. На какой высоте h над отверстием должен находиться нижний край линейки, если после пережигания нити линейка, свободно падая, закрывала собой отверстие в течение 0,1 с? Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с2.

Задача трактуется так: линейка длиной L = 25 см = 0.25 м висит на нити, выше отверстия на расстоянии h (нижний край линейки на высоте h над отверстием). После перегорания нити линейка падает свободно. За время падения она закрывает отверстие для 0,1 с. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с². 1) Условие закрытия отверстия - Линейка падает вертикально; отверстие закрыто тогда, когда горизонтальная отметка отверстия лежит внутри вертикального диапазона линейки. - В момент времени t нижний край линейки имеет высоту h − s(t) над отверстием, верхний край — h + L − s(t), где s(t) — пройденное линейкой расстояние вниз. - Отверстие закрывается, пока 0 находится внутри [h − s, h + L − s]. Это дает условие: h − s ≤ 0 ≤ h + L − s => s ∈ [h, h + L]. 2) Выражение для пройденного пути - Линейка свободно падает с начальной скоростью 0, поэтому s(t) = (1/2) g t². 3) Время, когда отверстие закрыто - Время, когда нижний край достигнет высоты 0: t1 = sqrt(2h/g). - Время, когда верхний край пройдет ниже отверстия (то есть пройдено путь h + L): t2 = sqrt(2(h + L)/g). - Длительность закрытия отверстия: Δt = t2 − t1 = 0,1 с. 4) Решение для h - Запишем уравнение: sqrt(2(h + L)/g) − sqrt(2h/g) = Δt. - Обозначим d = Δt · sqrt(g/2). Тогда sqrt(h + L) − sqrt(h) = d. - Пусть x = sqrt(h). Тогда sqrt(x² + L) − x = d → sqrt(x² + L) = x + d. - Возьмём в квадрат: x² + L = x² + 2dx + d² → L = 2dx + d². - Отсюда x = (L − d²) / (2d), и h = x². 5) Подстановка чисел - L = 0.25 м, Δt = 0.1 с, g = 9.8 м/с². - d = Δt · sqrt(g/2) = 0.1 · sqrt(9.8/2) = 0.1 · sqrt(4.9) ≈ 0.1 · 2.2136 ≈ 0.2214. - x = (0.25 − d²) / (2d). d² ≈ 0.2214² ≈ 0.0490. x ≈ (0.25 − 0.0490) / (2 · 0.2214) ≈ 0.2010 / 0.4428 ≈ 0.454. - h = x² ≈ 0.454² ≈ 0.206 м. 6) Численный ответ - h ≈ 0.206 м, то есть примерно 20,6 см. Проверка (наглядно): - t1 ≈ sqrt(2h/g) ≈ sqrt(0.412/9.8) ≈ sqrt(0.042) ≈ 0.205 с. - t2 ≈ sqrt(2(h+L)/g) ≈ sqrt(0.912/9.8) ≈ sqrt(0.0931) ≈ 0.305 с. - Разница t2 − t1 ≈ 0.100 с, что совпадает с данными задачи. Ответ: h примерно 0,21 м (≈ 21 см).