Через точки А, В и середину Р отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1, Р1 соответственно. Найдите длину отрезка РР, если АА, =…

Ответ: RR1 = 14 см.

Пояснение по шагам:

• Пусть плоскость π и направление параллельных прямых задаются единым направлением d. Проецирование точек A, B, R на π по этому направлению дает точки A1, B1, R1.

• Выберите систему координат так, чтобы π было плоскостью z = 0, а направление проекции имело компоненту по z не нулевую. Тогда для любой точки X = (x, y, z) её изображение на π имеет вид X1 = (x − α z, y − β z, 0), где α, β зависят от направления d.

• Обозначим z-координаты точек A, B, R как zA, zB, zR. Так как R — середина AB, имеем zR = (zA + zB)/2.

• Длины AA1 и BB1 вдоль направления проекции равны AA1 = k|zA| и BB1 = k|zB|, где k ≥ 0 зависит от направления (константа селекции вдоль d). Аналогично RR1 = k|zR| = k|(zA + zB)/2|.

• Из условия, что отрезок AB не пересекает плоскость π, следует, что zA и zB имеют один и тот же знак. Поэтому |zA + zB| = |zA| + |zB|, и получаем RR1 = k|(zA + zB)/2| = (k(|zA|) + k(|zB|))/2 = (AA1 + BB1)/2.

• Подставляем данные: AA1 = 16 см, BB1 = 12 см. Тогда RR1 = (16 + 12)/2 = 28/2 = 14 см.

Заметка: результат не зависит от конкретного направления параллельных прямых, если AB не пересекает плоскость.