2. К стене на нити подвешена линейка длиной 25 см. Под линейкой в стене имеется маленькое отверстие. На какой высоте h над отверстием должен находиться нижний край линейки, если после пережигания нити линейка, свободно падая, закрывала собой отверстие в течение 0,1 с? Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с2.

Дано: - Длина линейки L = 25 см = 0.25 м. - Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с². - После пережигания нити линейка падает свободно и закрывает отверстие в течение t = 0.1 с. - Нижний край линейки в начальный момент находится над отверстием на высоте h (то есть расстояние от нижнего края до отверстия равно h). Цель: найти h. 1) Пусть вертикальная ось направлена вниз. Пусть отверстие неподвижно, а линейка падает целиком как одно rigid body. Тогда любой точке линейки после начала падения присваивается смещение s(t) = (1/2) g t² (относительно начального положения). 2) Определим, при каких значениях s(t) отверстие находится внутри вертикального отрезка линейки. В начальный момент нижний край линейки расположен на расстоянии h выше отверстия. Верхний край линейки находится на расстоянии h + L выше отверстия (поскольку расстояние между краями равно длине линейки L). Положение отверстия в системе отсчёта стене совпадает с неизменной высотой, а линейка падает вниз. Отверстиe будет закрыто линейкой тогда, когда отверстие находится в вертикальном интервале, занятом линейкой в данный момент: от y_top(t) до y_bottom(t). Это эквивалентно условию h ≤ s(t) ≤ h + L. 3) Времена, когда выполняются крайние значения: - нижний край достиг отверстия: s(t1) = h → t1 = sqrt(2h/g); - верхний край достиг отверстия: s(t2) = h + L → t2 = sqrt(2(h + L)/g). Продолжительность закрытия отверстия линейкой равна Δt = t2 − t1 = sqrt(2(h + L)/g) − sqrt(2h/g) = 0.1 s. 4) Упростим уравнение. Обозначим A = sqrt(2/g). Тогда Δt = A [ sqrt(h + L) − sqrt(h) ]. Таким образом, sqrt(h + L) − sqrt(h) = Δt / A = 0.1 / sqrt(2/g). Вычислим численно: - sqrt(2/g) = sqrt(2/9.8) ≈ sqrt(0.20408) ≈ 0.452. - Δt / A ≈ 0.1 / 0.452 ≈ 0.221. Пусть x = sqrt(h). Тогда sqrt(h + L) = sqrt(x² + L). Получаем уравнение sqrt(x² + L) − x = d, где d ≈ 0.221 и L = 0.25. Классическое решение: sqrt(x² + L) = x + d → x² + L = x² + 2dx + d² → L = 2dx + d² → x = (L − d²) / (2d). 5) Подставим числа: - d ≈ 0.221, - d² ≈ 0.049, - L = 0.25. Тогда x ≈ (0.25 − 0.049) / (2 · 0.221) ≈ 0.201 / 0.442 ≈ 0.456 м^0.5? Нет, x = sqrt(h), поэтому h = x² ≈ (0.454…)^2 ≈ 0.206 м. Окончательно: h ≈ 0.206 м ≈ 20.6 см. Ответ: нижний край линейки должен быть примерно на 20–21 см выше отверстия (≈ 20.6 см).