2. К стене на нити подвешена линейка длиной 25 см. Под линейкой в стене имеется маленькое отверстие. На какой высоте h над отверстием должен находиться нижний край линейки, если…

Дано:

• Длина линейки L = 25 см = 0.25 м.
• Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с².
• После пережигания нити линейка падает свободно и закрывает отверстие в течение t = 0.1 с.
• Нижний край линейки в начальный момент находится над отверстием на высоте h (то есть расстояние от нижнего края до отверстия равно h).

Цель: найти h.

1. Пусть вертикальная ось направлена вниз. Пусть отверстие неподвижно, а линейка падает целиком как одно rigid body. Тогда любой точке линейки после начала падения присваивается смещение s(t) = (1/2) g t² (относительно начального положения).

2. Определим, при каких значениях s(t) отверстие находится внутри вертикального отрезка линейки. В начальный момент нижний край линейки расположен на расстоянии h выше отверстия. Верхний край линейки находится на расстоянии h + L выше отверстия (поскольку расстояние между краями равно длине линейки L).

Положение отверстия в системе отсчёта стене совпадает с неизменной высотой, а линейка падает вниз. Отверстиe будет закрыто линейкой тогда, когда отверстие находится в вертикальном интервале, занятом линейкой в данный момент: от y_top(t) до y_bottom(t). Это эквивалентно условию h ≤ s(t) ≤ h + L.

3. Времена, когда выполняются крайние значения:

• нижний край достиг отверстия: s(t1) = h → t1 = sqrt(2h/g);
• верхний край достиг отверстия: s(t2) = h + L → t2 = sqrt(2(h + L)/g).

Продолжительность закрытия отверстия линейкой равна Δt = t2 − t1 = sqrt(2(h + L)/g) − sqrt(2h/g) = 0.1 s.

4. Упростим уравнение. Обозначим A = sqrt(2/g). Тогда Δt = A [ sqrt(h + L) − sqrt(h) ]. Таким образом, sqrt(h + L) − sqrt(h) = Δt / A = 0.1 / sqrt(2/g).

Вычислим численно:

• sqrt(2/g) = sqrt(2/9.8) ≈ sqrt(0.20408) ≈ 0.452.
• Δt / A ≈ 0.1 / 0.452 ≈ 0.221.

Пусть x = sqrt(h). Тогда sqrt(h + L) = sqrt(x² + L). Получаем уравнение sqrt(x² + L) − x = d, где d ≈ 0.221 и L = 0.25.

Классическое решение: sqrt(x² + L) = x + d → x² + L = x² + 2dx + d² → L = 2dx + d² → x = (L − d²) / (2d).

5. Подставим числа:

• d ≈ 0.221,
• d² ≈ 0.049,
• L = 0.25.

Тогда x ≈ (0.25 − 0.049) / (2 · 0.221) ≈ 0.201 / 0.442 ≈ 0.456 м^0.5? Нет, x = sqrt(h), поэтому h = x² ≈ (0.454…)^2 ≈ 0.206 м.

Окончательно: h ≈ 0.206 м ≈ 20.6 см.

Ответ: нижний край линейки должен быть примерно на 20–21 см выше отверстия (≈ 20.6 см).