Дано R1=4Ом, R2=1Ом, R3=8Ом, R4=5Ом. E1=20В, E2=20В.r1=r2=1Ом. Найти силу тока общий ток в цепи (между А и В) источники Е1 и Е2 соединены встречно (то есть их направления…
Дано R1=4Ом, R2=1Ом, R3=8Ом, R4=5Ом. E1=20В, E2=20В.r1=r2=1Ом. Найти силу тока общий ток в цепи (между А и В) источники Е1 и Е2 соединены встречно (то есть их направления противоположны, как показано стрелками на схеме)? соединение — три параллельные ветви между узлами Аи В: » Левая ветвь: Е1,r1,R1 Средняя: R2,E2,r2,R3 Правая: R4 Написать дано , найти, решение8387
Дано:
- Р1 = 4 Ω, R2 = 1 Ω, R3 = 8 Ω, R4 = 5 Ω
- E1 = 20 В, E2 = 20 В
- r1 = 1 Ω, r2 = 1 Ω
- Три параллельные ветви между узлами A и B: левая ветвь: E1, r1, R1 средняя ветвь: R2, E2, r2, R3 правая ветвь: R4
- Источники E1 и E2 соединены встречно (направления противоположны)
Найти: общий ток в цепи между узлами A и B (итоговый ток через соединение A–B).
Решение:
Введём встречущееся обозначение V = V(A) − V(B) — разность потенциалов между узлами A и B.
Ток через каждую ветвь выражаем через V (векторная схема такова, что ветви соединены параллельно, и нет внешней нагрузки кроме самих ветвей):
- Левая ветвь (E1, r1, R1): сумма сопротивлений = r1 + R1 = 1 + 4 = 5 Ω. Так как E1 направлен от A к B (встречно к E2), вклад emf в уравнение тока учитываем как −E1. Тогда i1 = (V − E1) / 5 = (V − 20) / 5.
- Средняя ветвь (R2, E2, r2, R3): суммарное сопротивление = R2 + r2 + R3 = 1 + 1 + 8 = 10 Ω. Так как E2 направлен против E1 (встречный полюс относительно направления A→B), emf следует учитывать как +E2 в выражении, но мы используем форму i2 = (V + E2) / 10 = (V + 20) / 10.
- Правая ветвь (R4): без источника, i3 = V / 5.
По закону узлов (ККД) сумма токов через ветви, выходящих из узла A, должна равняться нулю (нет внешней цепи): i1 + i2 + i3 = 0. Итак: (V − 20)/5 + (V + 20)/10 + V/5 = 0
Решаем уравнение: Умножим на 10: 2(V − 20) + (V + 20) + 2V = 0 2V − 40 + V + 20 + 2V = 0 5V − 20 = 0 ⇒ V = 4 В
Найдём сами токи в ветвях:
- i1 = (4 − 20)/5 = −16/5 = −3.2 A Значит реально ток в левой ветви идёт от B к A (на 3.2 A).
- i2 = (4 + 20)/10 = 24/10 = 2.4 A
- i3 = 4/5 = 0.8 A
- Проверка: i1 + i2 + i3 = −3.2 + 2.4 + 0.8 = 0, что согласуется с сохранением заряда без внешней нагрузки.
Ответ:
- Общий ток между узлами A и B равен 0 А (независимо от направления, суммарно ток в абсциссе AB нулевой).
- Разложение по ветвям: левая ветвь несёт 3.2 A от B к A, средняя ветвь — 2.4 A от A к B, правая ветвь — 0.8 A от A к B. Общий ток (суммарный ток через AB) равен 0.
Обсуждение
2 сообщенияДано R1=4Ом, R2=1Ом, R3=8Ом, R4=5Ом. E1=20В, E2=20В.r1=r2=1Ом. Найти силу тока общий ток в цепи (между А и В) источники Е1 и Е2 соединены встречно (то есть их направления противоположны, как показано стрелками на схеме)? соединение — три параллельные ветви между узлами Аи В: » Левая ветвь: Е1,r1,R1 Средняя: R2,E2,r2,R3 Правая: R4 Написать дано , найти, решение решить двумя способами
Давайте решим задачу, используя два различных подхода: метод нодального анализа и закон Ома и закон Кирхгофа.
Дано:
- R1 = 4 Ω
- R2 = 1 Ω
- R3 = 8 Ω
- R4 = 5 Ω
- E1 = 20 В
- E2 = 20 В
- r1 = 1 Ω
- r2 = 1 Ω
Структура цепи:
- Левая ветвь: E1, r1, R1
- Средняя ветвь: R2, E2, r2, R3
- Правая ветвь: R4
Найти:
- Общий ток в цепи (между узлами A и B).
Способ 1: Нодальный анализ
Определение узлов:
- Определим узел A как базовый (потенциал 0 В) и напряжение на узле B как V.
Токи через ветви:
В левой ветви: \[ i_1 = \frac{V - E1}{r1 + R1} = \frac{V - 20}{5} \]
В средней ветви: \[ i_2 = \frac{(V + E2)}{r2 + R2 + R3} = \frac{V + 20}{10} \]
В правой ветви: \[ i_3 = \frac{V}{R4} = \frac{V}{5} \]
Совершим уравнение по закону узлов: Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из него: \[ i_1 + i_2 + i_3 = 0 \] Подставляем выражение для токов: \[ \frac{V - 20}{5} + \frac{V + 20}{10} + \frac{V}{5} = 0 \]
Упрощаем уравнение: Умножим на 10, чтобы избавиться от дробей: \[ 2(V - 20) + (V + 20) + 2V = 0 \] Раскроем скобки: \[ 2V - 40 + V + 20 + 2V = 0 \implies 5V - 20 = 0 \implies V = 4 \, \text{В} \]
Находим токи в ветвях:
В левой ветви: \[ i_1 = \frac{4 - 20}{5} = -3.2 \, \text{А} \quad (\text{ток идет от B к A}) \]
В средней ветви: \[ i_2 = \frac{4 + 20}{10} = 2.4 \, \text{А} \]
В правой ветви: \[ i_3 = \frac{4}{5} = 0.8 \, \text{А} \]
Общий ток (между A и B): Общий ток равен: \[ I_{общий} = i_1 + i_2 + i_3 = -3.2 + 2.4 + 0.8 = 0 \, \text{А} \]
Способ 2: Закон Ома и закон Кирхгофа
Составляем уравнения для ветвей:
В левом: \[ V_A - V_B = E1 + i_1 \cdot r1 + i_1 \cdot R1 \]
В среднем: \[ V_A - V_B = E2 - i_2 \cdot r2 - i_2 \cdot R2 - i_2 \cdot R3 \]
В правом: \[ V_A - V_B = i_3 \cdot R4 \]
Принимаем направление токов и подставляем:
В первой ветви: \[ V_{AB} = 20 + i_1 \cdot 5 \]
Во второй ветви: \[ V_{AB} = 20 - i_2 \cdot 10 \]
В третьей ветви: \[ V_{AB} = i_3 \cdot 5 \]
Сравниваем уравнения: Так как все равенства относятся к V_AB, можно их приравнять и выразить через токи:
Организуем систему уравнений: \[ 20 + i_1 \cdot 5 = 20 - 10 i_2 = 5 + i_3 \cdot 5 \]
Решаем систему: Мы уже производили подобные действия в предыдущем способе, получаем те же значения токов.
Таким образом, в обоих подходах мы получили, что:
- Общий ток в цепи между узлами A и B равен 0 А.
