пусть в краткосрочном периоде производная функция зависит только от численности персонала и имеет вид Q=5400L-5L^3.Q-выпуск продукции,L-количество рабочих.найти наибольший выпуск…

Задача: Q(L) = 5400L − 5L^3, где L — число рабочих. Найти наибольший выпуск продукции.

Пошаговое решение:

1. Найти производную

• Q'(L) = d/dL (5400L − 5L^3) = 5400 − 15L^2.

2. Найти критические точки

• При Q'(L) = 0 получаем 5400 − 15L^2 = 0 → 15L^2 = 5400 → L^2 = 360 → L = ±√360.
• Поскольку L — количество рабочих, не может быть отрицательным, берем L* = √360 = 6√10 ≈ 18.97.

3. Проверка типа критической точки

• Вторая производная: Q''(L) = d/dL (5400 − 15L^2) = −30L.
• Для L > 0 Q''(L) < 0, значит точка максимума. Так что L* действительно даёт максимум.

4. Значение максимального выпуска

• Используем факт: Q(L) = L(5400 − 5L^2). При L^2 = 360: Q = L(5400 − 5·360) = L(5400 − 1800) = 3600L.
• Подставляем L*: Q_max = 3600√360 = 3600 · 6√10 = 21600√10.
• Приближенно: √10 ≈ 3.1623 → Q_max ≈ 21600 · 3.1623 ≈ 68 305.

5. Дополнительный комментарий для целочисленного количества рабочих

• Если количество рабочих должно быть целым, просчет около максимум: L = 18 и L = 19.
  • Q(18) = 5400·18 − 5·18^3 = 97 200 − 29 160 = 68 040.
  • Q(19) = 5400·19 − 5·19^3 = 102 600 − 34 295 = 68 305.
• Таким образом, при целочисленном L оптимум около L = 19, с выпуском примерно Q ≈ 68 305 единиц.

Ответ:

• Точное максимально возможное значение выпуска: Q_max = 21600√10 ≈ 68 305.
• Оптимальное число рабочих (не целое): L* = √360 ≈ 18.97.
• При целочисленном L оптимум: L = 19, Q ≈ 6.83×10^4 единиц.