тело брошено с поверхности земли под углом 60° к горизонту модуль начальной скорости равен 20 м/с чему равен радиус кривизны траектории в точке максимального подъёма
Задача: тело брошено с земли под углом θ = 60° к горизонту со начальной скоростью u = 20 м/с. Найти радиус кривизны траектории в точке максимального подъёма.
Пояснение и решение
Траектория проекта: в системе координат по оси x вдоль горизонта, y вверх y(x) = x tan θ - [g x^2] / [2 u^2 cos^2 θ] где g — ускорение свободного падения ≈ 9.81 м/с².
Производные траектории:
первая производная (наклон касательной): dy/dx = tan θ - [g x] / [u^2 cos^2 θ]
в точке максимального подъёма скорость по вертикали нулевая, значит касательная горизонтальная, следовательно dy/dx = 0. Это даёт положение апогея x_apex: tan θ = [g x_apex] / [u^2 cos^2 θ] => x_apex = (u^2 cos^2 θ tan θ) / g Можно выразить через синус/косинус: x_apex = (u^2 sin θ cos θ) / g.
вторая производная: d²y/dx² = - g / (u^2 cos^2 θ) Она константна и по модулю равна g / (u^2 cos^2 θ).
Радиус кривизны. Формула кривизны для кривой y(x): κ = |y''| / [1 + (y')^2]^(3/2) и R = 1/κ. В точке максимального подъёма y' = 0, поэтому κ = |y''| = g / (u^2 cos^2 θ) и R = 1/κ = u^2 cos^2 θ / g.
Численное значение. Подставляем u = 20 м/с, θ = 60°. cos 60° = 1/2, cos²θ = 1/4. R = (20² · 1/4) / g = (400 · 0.25) / 9.81 ≈ 100 / 9.81 ≈ 10.2 м.
Дополнительный быстрый метод (меньше вычислений): На апогее скорость тела горизонтальна: v = u cos θ. Один из способов вычислить кривизну: κ = |v × a| / |v|³ = |a| / |v|² = g / (u² cos² θ), R = 1/κ = u² cos² θ / g. Тоже даёт R ≈ 10.2 м.
Ответ: радиус кривизны траектории в точке максимального подъёма равен примерно 10,2 метра.
