x³+2x²+3x+2=0

Задача: x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0

Цель: понять решение подробно и наглядно.

Пошаговое решение

1. Поиск возможных рациональных корней

• для многочлена с целыми коэффициентами рациональные корни могут быть делителями свободного коэффициента 2: ±1, ±2.
• Пробуем x = -1: (-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 + 2 - 3 + 2 = 0. Значит x = -1 является корнем.

2. Факторизация по найденному корню

• Так как x = -1 — корень, многочлен можно разложить как (x + 1) умножить на квадратный многочлен.
• Делим x^3 + 2x^2 + 3x + 2 на (x + 1) (методом синтетического деления): Коэффициенты: 1, 2, 3, 2 Снижая, получаем частное: x^2 + x + 2
• Следовательно: x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x^2 + x + 2)

3. Решение квадратного уравнения x^2 + x + 2 = 0

• Дискриминант: Δ = 1^2 − 4·1·2 = 1 − 8 = −7.
• Корни квадрата по формуле: x = [−1 ± i√7] / 2.

4. Итог

• Реальные корни: x = −1.
• Комплексные корни: x = (−1 + i√7)/2 и x = (−1 − i√7)/2.
• Проверка: умножив (x + 1)(x^2 + x + 2), получится исходный многочлен.

Кратко ответ: корни уравнения x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = 0 — x = −1 и x = (−1 ± i√7)/2.