высота треугольника, равна 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10см и 4 см. Найдите медиану, проведённую к меньшей из двух других сторон

Пояснение и решение

Дано: высота CD = 10 см, она делит основание AB на AD = 10 см и DB = 4 см. Значит, AB = AD + DB = 14 см. Точка D — опущенная высота.

1. Введём координаты для ясности:

• A = (0, 0), B = (14, 0),
• D = (10, 0) (поскольку AD = 10),
• C = (10, 10) (так как CD = 10 и высота перпендикулярна AB).

2. Найдём длины двух "других" сторон:

• AC = distance между A и C: sqrt((10−0)^2 + (10−0)^2) = sqrt(100 + 100) = sqrt(200) = 10√2.
• BC = distance между B и C: sqrt((14−10)^2 + (0−10)^2) = sqrt(4^2 + (−10)^2) = sqrt(16 + 100) = sqrt(116) = 2√29.

Меньшая из двух сторон — BC.

3. Медиана, проведённая к меньшей стороне BC:

• Медиана к BC идёт от вершины A к середине стороны BC.
• Найдём середину BC: M = ((14+10)/2, (0+10)/2) = (12, 5).
• Длина медианы AM = distance между A и M: sqrt((12−0)^2 + (5−0)^2) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13.

Ответ: 13 см.

Примечание (альтернативный подход): по формуле Апполония для медианы к стороне a (где a = BC, b = CA, c = AB), m_a^2 = (2b^2 + 2c^2 − a^2)/4. Подставив b = CA = 10√2, c = AB = 14, a = BC = 2√29, получаем m_a^2 = 169, следовательно m_a = 13.